INTEGRALES DE LINEA

Nota Se sugiere imprimir estos problemas resueltos. Si se desea ver los problemas en pantalla conviene desactivar las marcas de prrafo. 3.40 Sea una superficie esfrica de radio 1 interior y tangente a otra superficie esfrica de radio 2. Determinar el valor promedio de la distancia al punto de tangencia de todos los puntos comprendidos entre ambas superficies esfricas. Sugerencia usar coordenadasesfricas. Solucin Los puntos aludidos en el enunciado son los de la regin rayada en gris de la figura. Puesto que la funcin que promediaremos ser la distancia al punto de tangencia, aparece como lgico que este ltimo se site en el origen del sistema de coordenadas que utilizaremos. Al usar coordenadas esfricas, esta distancia ser sencillamente (. Recordemos por otra parte el concepto de valorpromedio de una funcin en un dominio. Podemos expresarlo como el cociente entre la integral de esa funcin sobre el dominio dado y la integral de la funcin 1 en dicho dominio. En nuestro caso se trata de cuerpos tridimensionales y por lo tanto las integrales sern volumtricas. Esto es EMBED Equation.3 (1) Nuestro problema se reducir a expresar estas integrales en coordenadas esfricas, lo cualen trminos prcticos implica encontrar los lmites de cada una de las variables. (, el ngulo azimutal, variar entre 0 y (/2 (nuestro dominio abarca todo el semiespacio situado por encima del plano xy). (, el ngulo ecuatorial, variar entre 0 y 2( (ambas esferas son cuerpos de revolucin completa alrededor del eje z). Los nicos extremos que ofrecen alguna dificultad son los de (, la distancia alorigen. Para determinar correctamente su variacin, observemos que esta ltima es dependiente del ngulo azimutal. En efecto, vemos en la figura que para cada valor de ( los valores de ( estarn comprendidos en el rango indicado por la lnea ms gruesa. El valor mnimo ser la longitud del segmento OA, y el valor mximo ser la longitud del segmento OB. Ambas longitudes, repetimos, son funciones de (. Pero, qufunciones Para determinar esto observemos, de los radios dados en los datos, que el segmento OA tiene longitud 2, y el segmento OB tiene longitud 4. Por otro lado recordemos de geometra elemental que un ngulo inscripto en una esfera (esto es, el formado uniendo un punto cualquiera de la misma con los extremos de cualquier dimetro que no lo incluya) es siempre recto. Por lo tanto, los ngulos OAA yOBB son ambos rectos. Entonces, los tringulos OAA y OBB son los dos rectngulos y podemos aplicar funciones trigonomtricas. Tenemos as OA OAcos( 2cos( OB OBcos( 4cos( Por ende la variacin de ( vendr dada por 2cos( ( ( ( 4cos( Expresando ahora las integrales triples en (1) con sus correspondientes extremos tendremos lo siguiente, donde ( es la funcin a promediar y (2sen( es el jacobiano enesfricas EMBED Equation.3 Esto da una distancia promedio de, aproximadamente, 2,57. En la primera figura de este ejercicio se ha indicado en lnea de puntos el lugar geomtrico de los puntos ubicados a esta distancia del origen.( 3.10 Hallar el momento de inercia respecto al eje x de un alambre semicircular que tiene la forma x2 y2 1, y ( 0 si la densidad es f(x y) ( x( ( y(. Solucin Se trata deuna semicircunferencia centrada en el origen y que abarca el primero y el segundo cuadrantes. La parametrizacin natural para esta curva es EMBED Equation.3 , 0 ( ( ( ( (1) La funcin, por otro lado, tendr dos leyes una en el primer cuadrante, donde ambos valores son positivos, y otra en el segundo cuadrante, donde x es negativo y y es positivo. Esto es EMBED Equation.3 (2) Reemplazando (1)en (2) se puede obtener una expresin para la funcin densidad expresada en trminos del parmetro ( (3) Ahora debemos calcular el momento de inercia del alambre descrito por la parametrizacin (1) y con una densidad representada por (3), con respecto al eje x. Recordemos que el momento de inercia es la integral del diferencial de masa por el cuadrado de la distancia al eje de rotacin. En nuestro...