Integrales Impropias

III-INTEGRALES IMPROPIAS
Considérese el volumen del sólido que se obtiene cuando gira alrededor del eje x la región
limitada por

y= 1
x

y por el eje x, a la derecha de la recta

x = 1. La sección transversal

típica, determinada por un plano perpendicular al eje x, es un círculo de
pues, tentados a asegurar que el volumen es
símbolo

∞
∫ f(x)dx
a

∞ 12
∫ π( x ) dx .
1radio 1 . Estamos,
x

Desafortunadamente, el

carece de significado, hasta ahora. La definición de la integral definida

se basa en sumas de la forma

n
∑ f (xi )(xi -xi-1).
i=1

Si una sección de la partición tiene

longitud infinita, tal suma no tiene significado. Sin embargo, examinemos el volumen de la
parte del sólido comprendido entre x = 1 y x = b , donde b es algún númeromayor que l y,
después, determinemos qué sucede cuando b → ∞ . En otras palabras, consideremos

b 12
lím π( ) dx.
∫x
1
b→∞
b 1π2
π=
Ahora, ( ) dx = -π b π - - (- )π - .
=
∫x
x1
b1
b
1
bπ
lim ∫
dxπ - 0 π.
=
=
2
1x

Así, tenemos que:

b→∞

El volumen de este sólido que se extiende indefinidamente es finito. Este enfoque nos

∞
sugiere un modo de dar significado alsímbolo ∫ f(x)dx:
a
∞
DEFINICIÓN Integral impropia convergente ∫ f(x)dx. Sea f una función continua.
a
b
lim ∫ f(x)dx existe, la función f tiene una integral impropia convergente de b a ∞.
Si
a
b→∞

2

∞ 12
∞
El valor del límite se denota por ∫ f(x)dx. Se demostró que ∫ π( ) dx
a
1x
impropia convergente, cuyo valor es π .
Integral impropia divergente

∞
∫ f(x)dx.
a

Sea f unafunción continua. Si

no existe, la función f tiene una integral impropia divergente.
1-Determine el área de la región limitada por

y= 1
x

es una integral

b
lim ∫ f(x)dx
a
b→∞

y el eje x, a la derecha de

x = 1. El

∞1
b
dx = lim ∫ 1 dx = lim(Ln b-Ln 1) = lim Ln b
área pedida es igual a ∫
1x
1x
b→∞
b→∞
b→∞

¿Cómo se comporta Lnb cuando b crece indefinidamente? Antetodo, como

D(Ln t) = 1 , la función Lnt
t
Ln e = 1, Ln e2 = 2,.., Ln en = n ,
lim Ln b = ∞.
Así,
b→∞

es

creciente.

Más

aún,

puesto

que

se sigue que Lnb se hace arbitrariamente grande.

Estas observaciones se resumen en las siguientes proposiciones:
El área es infinita,
divergente.

∞1
∫ x dx = ∞,
1

o sencillamente,

∞1
∫ x dx
1

es una integral impropiab
b
La integral impropia ∫ f(x)dx se define análogamente a través del análisis de ∫ f(x)dx
-∞
t
para valores negativos de t de gran valor absoluto. Si, cuando t → ∞ para valores
b
b
lim ∫ f(x)dx
negativos de t, ∫ f(x)dx tiende a un número, este número se denota por
o
t
t
t →- ∞
b
b
En tal caso, la integral impropia ∫ f(x)dx es convergente.
Si
∫ f(x)dx.
-∞
-∞

3

b
lim∫ f(x)dx
t
t →- ∞

no existe, entonces la integral impropia

b
∫ f(x)dx
-∞

poder trabajar con integrales impropias sobre todo el eje x, definimos

es divergente. Para

∞
∫ f(x) dx
-∞

como la

0
+∞
suma
que
será
convergente
si
tanto
∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx
-∞
0
0
+∞
f(x)dx como ∫ f(x)dx son convergentes. [Si al menos una de ellas es divergente,
∫
-∞
0
∞
entonces∫ f(x) dx será divergente].
-∞
1
2-Determine el área de la región limitada por la curva y =
2 y el eje x. El área es
1+ x
+∞ 1
1
dx . La gráfica de y =
igual a ∫
2 es simétrica respecto al eje y, corta a
2
-∞ 1 + x
1+ x
este eje en el punto (0,1). Es decir, tiene forma de campana. El eje x es la asíntota
horizontal.

b
∞1
= lim ∫ 1 dx = lim (Tg-1(b) - Tg-1(0)) π
dx
=.
Ahora,∫
2
01 + x 2
2
01 + x
b→∞
b→∞
0
π
1 dx = π . De donde, ∞ 1π dx= + =π. Entonces el
Por simetría, ∫
∫
22
−∞ 1 + x 2
− ∞1 + x2
2

área buscada es π unidades cuadráticas.
Hay una segunda clase de integrales impropias, donde las funciones no están acotadas en el
intervalo  a,b  . Si f(x) se hace arbitrariamente grande en el intervalo  a,b  , entonces se




pueden...