Integrales impropias

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Definicion de Integrales impropias

Una integral se llama integral impropia si
se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes

1ª) El intervalo de integración [a,b] no está acotado.Es decir, uno o los dos límites de integración se
hacen infinito.

2ª) La función f no está acotada en [a,b]. Los puntos
en los que f deja de estar acotada se denominan
singularidades de f en[a,b].

OTRAS DEFINICIONES PODRIAN SER:

Sea el intervalo abierto (a,b), luego de manera formal escribir una integral con los límites en los extremos de ese intervalo resulta en la siguienteexpresión:

[pic]

Desde luego que en términos del dominio de la función, no es correcto escribir la expresión sin antes revisar nuestros conceptos.

De las propiedades de la integral definida sabemos quepara un punto en el dominio de la función f(x), se tiene: [pic].

Si se pudiera hacer una extensión del dominio de f(x) para contener a sus extremos, tendría que para [a,b], la integral [pic]estaría adecuadamente definida, pero como el área bajo un punto en el dominio es nula luego el área en el intervalo (a,b) es idéntica al área en [a,b], por lo que nos permite hacer la siguiente definiciónsin considerar la posible extensión de dominio:

Definición 1: Sea el intervalo [a,b), luego se entiende que [pic] , de igual manera para (a,b] se tiene [pic].

La definición previa es válida enfunciones que son continuas en [a,b) y (a,b] respectivamente, sin embargo esas definiciones se pueden generalizar aún a funciones discontinuas en los extremos.

Definición 2: Sea el intervalo [a,b),en el cual f(x) es continua, pero discontinua en b, luego la integral [pic] , si el límite existe. De la misma manera para f(x) continua en (a,b], pero discontinua en a, se tiene que [pic], si dicholímite existe.

Las integrales de la definición 2, se denomina integrales impropias de primer orden, al igual que el siguiente caso:

Definición 3: Sea f(x) una función discontinua en c dentro...
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