Integrales iteradas triples y múltiples



3. Integrales iteradas triples y mu´ltiples.

Seguiremos la misma exposicio´n realizada en la seccio´n 2, pero ahora para las llamadas inte- grales triples.

3.1. Integrales iteradas triples.

Se llama prisma rectangular o intervalo tridimensional al siguiente subconjunto de R3 :
R = [a, b] × [c, d] × [e, h] = {(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ h}donde a < b, c < d, e < h son nu´meros reales fijos.
Sean φ, ψ : D1 ⊂ [a, b] × [c, d] 7→ [e, h] dos funciones continuas tales que φ(x, y) ≤ ψ(x, y) para todo (x, y) ∈ D1, donde D1 es un dominio simple (respecto de x o respecto de y) en el recta´ngulo [a, b] × [c, d] del plano x, y.
Ha´gase un dibujo en el espacio, con tres ejes coordenados x, y, z: el dominio D1 esta´ en el plano”horizontal”z = 0 y proyecta´ndose sobre ´el, en el espacio, esta´n las gr´aficas de las funciones φ(x, y) y ψ(x, y).
Consideremos el dominio D (tridimensional) contenido en el prisma rectangular R = [a, b] ×
[c, d] × [e, h] definido como:
D = {(x, y) ∈ D1 , φ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)} (1)

En el dibujo realizado antes D es el so´lido comprendido entre las gr´aficas de las funciones φ y
ψ, que seproyecta verticalmente sobre el dominio plano D1 del plano x, y.
Para cada (x, y) fijos en el dominio plano D1, el segmento (basto´n ) vertical φ(x, y) ≤ z ≤
ψ(x, y) est´a contenido en el s´olido D. Al mover el punto (x, y) ∈ D1 , este basto´n vertical “barre”el
s´olido D.

Definicio´n 3.1.1. El dominio D que cumple (1) se llama dominio (tridimensional) simple respecto de x, y,si su proyeccio´n D1 sobre el plano z = 0 es simple respecto de x; y se llama dominio (tridimensional) simple respecto de y, x si su proyeccio´n D1 sobre el plano z = 0 es simple respecto de y.

El ana´lisis del s´olido D a continuacio´n debe seguirse con figuras tridimensionales, como la explicada antes de la definici´on 3.1.1:
Consideremos primero el dominio(bidimensional ) simple D1, simple respecto de x. Entonces, por la definici´on 3.1.1, el dominio D (tridimensional) definido en (1) es simple respecto a x, y y adquiere la forma siguiente:
D = {a ≤ x ≤ b, λ(x) ≤ y ≤ µ(x), φ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)} (1b)

Se puede mirar a D de la forma que describimos ma´s abajo, en vez de verlo como generado por bastones verticales para cada (x, y) fijo en D1 ,que recorren D cuando (x, y) se mueve en D1. Para
cada x = x0 ∈ [a, b] fijo, la interseccio´n del so´lido D con el plano vertical x = x0 (este plano es
perpendicular al eje de las x) es un dominio plano, “tajada o feta”del so´lido D al cortarlo con un
plano vertical, que tiene por ecuaci´on:
D ∩ {x = x0} = {(y, z) : λ(x0 ) ≤ y ≤ µ(x0 ), φ(x0 , y) ≤ z ≤ ψ(x0 , y)} (1c)


Entonces,esta tajada o feta plana vertical D ∩ {x = x0} es un dominio simple respecto de y, en
las variables y, z del plano x = x0 con x0 constante (que es paralelo al plano coordenado y, z.) Adem´as esta feta plana cambia, al variar x0 ∈ [a, b], “barriendo”el so´lido D.

Consideremos ahora el dominio (bidimensional ) simple D1, simple respecto de y. Entonces, por la definici´on 3.1.1,el dominio D (tridimensional) definido en (1) es simple respecto a y, x y adquiere la forma siguiente:
D = {c ≤ y ≤ d, ν (y) ≤ x ≤ χ(y), φ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)} (1d)

Se puede mirar a D de la forma que describimos ma´s abajo, en vez de verlo como generado por bastones verticales para cada (x, y) fijo en D1 , que recorren D cuando (x, y) se mueve en D1. Para
cada y = y0 ∈ [c, d] fijo,la interseccio´n del so´lido D con el plano vertical y = y0 (este plano es
perpendicular al eje de las y) es un dominio plano, “tajada o feta”del so´lido D al cortarlo con ese
plano vertical, que tiene por ecuaci´on:
D ∩ {y = y0 } = {(x, z) : ν (y0 ) ≤ x ≤ χ(y0 ), φ(x, y0 ) ≤ z ≤ ψ(x, y0 )} (1e)
Entonces, esta tajada o feta plana vertical D ∩ {y = y0 } es un dominio simple...