Interpolación de hermite

Interpolación de Hermite
Los polinomios osculantes representan una generalización de los polinomios de Taylor y de Lagrange. Dado n + 1 números distintos x0, x1,……, xn en [a, b] y los enteros no negativos m0, m1,….., mn, y m = max {m0, m1,……., mn}. El polinomio osculante que aproxima una función Cm [a, b], en xi, para cada i = 0,. . ., n, es el polinomio de menor grado que concuerda con lafunción y con todas sus derivadas de orden menor o igual que mi en xi para cada i = 0, 1, . . . ., n. el grado de este polinomio osculante es, a lo más,
M=i=0nmi+n
Ya que el número de condiciones por cumplir es i=0nmi+(n+1) , y un polinomio de grado M tiene M + 1 coeficientes que podemos utilizar para satisfacerlas.

Definición.
Sean x0, x1, . . . , xn,, n + 1 números distintos en [a, b] ymi un numero entero no negativo asociado a xi par a i = 0, 1, . . . ., n . Supóngase que Cm[a, b] y que m = max0≤ i≤ n mi. El polinomio osculante que aproxima es el polinomio P(x) de menor grado tal que
dkP(xi)dxk=dkf(xi)dxk para cada i=0, 1,…,n y k=0,1,…,mi

Nótese que, cuando n = 0, el polinomio osculante que aproxima es simplemente el polinomio m0- ésimo de Taylor para en x0.Cuando mi =0 para cada i, el polinomio osculante es el n-ésimo polinomio de Lagrange que interpola en x0, x1,……, xn.

Cuando mi = 1 para cada i = 0, 1, ……, n, se produce una clase de polinomios denominados polinomios de Hermite. En una función dada , estos últimos concuerdan con en x0, x1,……, xn. Además, como sus primeras derivadas concuerdan con las de, tendrán la misma “forma” que la función(xi, (xi)), en el sentido de que las líneas tangentes del polinomio coinciden con las de la función. Aquí estudiaremos solo los polinomios osculantes en esta situación y examinaremos primero un teorema que describe con precisión la forma de los polinomios de Hermite.
Teorema:
Si f ∊ C1[a, b] y si x0, . . ., xn ∊ [a, b] son distintos, el polinomio único de menor grado que concuerda con f y f´en x0, . . ., xn es el polinomio de Hermite de grado a lo más 2n + 1 que está dado por
H2n+1x=j=0nf(xj)Hn, jx+j=0nf´xjHn, jx,
Donde
Hn, jx=1-2x-xjL´n, jxjLn, j2(x)
Y
Hn, jx=(x-xj)Ln, j2(x)
Dentro de este contexto Ln, j(x) denota el j-ésimo polinomio de Lagrange de grado n.
Más aún, si f ∊ C2n + 2[a, b] entonces x ∊ [a, b]
fx=H2n+1x+x-x02…(x-xn)22n+2!f2n+2ξ,
Para alguna ξ con a<ξ<b.DEMOSTRACION.
Para demostrar que
H2n+1xk=fxk y H´ 2n+1xk=f´(xk)
Para cada k = 0, 1, . . ., n, es suficiente demostrar que Hn, j y Hn, j, definidos respectivamente, satisfacen las condiciones (a) – (d) dadas a continuación:
a) Hn, jxk=0, si j≠k,1, si j=k
b) ddxHn, jxk=0, para toda k;
c) Hn, jxk=0 para toda k;
d) ddxHn, jxk=0, si j≠k,1, si j=kFIGURAS.

Estas condiciones garantizan que cuando H2n+1 ó H´2n+1 sea evaluado en uno de los puntos dados se obtenga el valor apropiado ya que
H2n+1xk=j=0nfxjHn,jxk+j=0nf´(xj)Hn, j(xk)
=fxk.1+j=0j≠knfxj.0+j=0nf´xj.0=f(xk)
Y
H´2n+1xk=j=0nfxjH´n, jxk+j=0nf´(xj)H´n, j(xk)
=j=0nfxj.0+f´xk.1+j=0j≠0nf´xj.0=f'xk,
Para cada k = 0, 1, . . ., n.

Considerando primero el polinomio Hn, j los requisitos (c)y (d) implican que Hn, j debe tener una raíz doble en xk para cada k ≠ j y una raíz simple en xj un polinomio de grado a lo más (2n + 1) que satisface estas condiciones y que tienen una derivada con un valor de uno en xj es
Hn, jx=x-x02x-xj-12x-xjx-xj+12…x-xn2(xj-x0)2…xj-xj-121xj-xj+12…(xj-xn)2=(x-xj)Ln, j2(x)
Las condiciones (a) y (b) implican que xk, para cada k ≠ j, debe ser una raíz doble deHn, j(x) y cualquier polinomio de grado a lo más (2n + 1) que satisface (a) y (b) está dado por:
Hn, jx=x-x02…x-xj-12x-xj+12…x-xn2(ax+b)
Para algunas constantes a y b. Ajustando las constantes a y b tomando
a=ai=0i≠jn(xi-xj)2 y b=bi=0i≠jn(xi-xj)2
Nos da Hn,jx=Ln,j2xax+b.
La condición (a) implica que
1=Hn,jxj=Ln,j2xjaxj+b=axj+b
Y usando (b) y la ecuación...