INTERPOLACIÓN POLINOMICA

1. Introducción

1.1. ¿Qué es una Interpolación?

Dado un conjunto de datos conocidos buscamos una función que satisfaga:


es la función interpolante o interpolador.

El interpolador puede ser:

Polinomio
“Spline”
Fracción Continuada


Tomar en cuenta:
Las derivadas del interpolador en los puntos dados es fija.
Suavidad, monoticidad o convexidad del interpolador .

1.2.Aplicaciones

Trazado de curvas a través de un conjunto discreto de datos.

Determinar valores “intermedios” de una tabla de datos.

Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.

Evaluar de manera fácil una función matemática.

Reemplazar una función complicada por una simple.

1.3. Interpolación y Aproximación

Funciones utilizadas como interpoladores:

PolinomiosFunciones Trigonométricas
Funciones Exponenciales
Funciones Racionales

Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta ().

Interpolación presenta problemas cuando los datos están sujetos a errores significativos.

Cuando hay “incertidumbre” en los datos resulta útil “suavizarlos” por medio de una aproximación de mínimos cuadrados.

Tomar en Cuenta:

Aproximaciones espectrales oaproximación con polinomios de Chebyshev representan de manera efectiva soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales.

1.4. Teoría

Teorema 1 (Aproximación de Weierstrass)

Sea continua. Para todo , existe un polinomio sobre tal que para todo ,




Teorema 2 (Existencia y Unicidad del Polinomio Interpolante)

Si son números reales distintos, entonces para valoresarbitrarios existe un único polinomio de grado tal que:



Observaciones:
El teorema (2) generaliza:

“Por dos puntos distintos del plano cartesiano pasa una y sólo una línea recta (polinomio de grado 1)”

Dada una tabla de datos:










existe uno y sólo un polinomio de grado tal que .

Aunque el polinomio es único, existen diversas formas de expresarlo y diferentesalgoritmos para determinarlo.

1.5. Polinomio Interpolador

Asumimos un conjunto de puntos discretos con los valores correspondientes .

Construimos una función que pase por por medio de la aproximación:



: es el polinomio interpolante.
: son polinomios a priori y forman una base.
: son coeficientes por determinar.

expresar a como una combinación lineal de funciones de base .2. Interpolación de Vandermonde

Consideramos como bases los monomios:



Para la base obtenemos la representación:



Donde son constantes a determinar.

Las ecuaciones que surgen al evaluar en se pueden expresar matricialmente como:



es la matriz de Vandermonde y .
Ejemplo:

Determinar el polinomio de grado 2 que interpola los tres datos .

Solución:

i. Elpolinomio está dado por:



ii. Para este caso el sistema está dado por:



iii. La solución está dada por y







3. Interpolación de Newton

Con el fin de reducir la complejidad computacional hacemos el siguiente cambio de base:



Ahora es aproximada por:



Las ecuaciones que surgen al evaluar se pueden expresar matricialmente como:



3.1. Fórmula de diferenciasdividas

La matriz del sistema anterior es triangular inferior.

O operaciones necesarias para resolver el sistema.

Las soluciones viene dadas por:







La función puede determinarse de manera recursiva.

Consideremos el conjunto de puntos:



Adicionalmente se tiene:

: Polinomio de interpolación en
: Polinomio de interpolación en
: Polinomio de interpolación enObservaciones que:

… (7)

Ambos polinomios tienen grado k.
Ambos polinomios interpolan los mismos puntos .

Los polinomios de interpolación están dados por:





Al sustituirlos en (7)



Obtenemos:



Comparando los coeficientes de mayor potencia :




Obtenemos la fórmula de diferencias dividas:

… (8)

El polinomio de interpolación está dado por:...