INTERPOLACION

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Tutorial de Analisis Numerico
Interpolaci´n : Introducci´n.
o
o
M´todo de los coeficientes indeterminados
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Jes´s Garc´ Quesada
u
ıa
Departamento de Inform´tica y Sistemas
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Contenido

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
35017 Campus de Tafira, Espa˜a
n
Email : jgarcia@dis.ulpgc.es

2 de Octubre de2000, v0.3
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Indice General
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1 INTRODUCCION

3

2 COEFICIENTES INDETERMINADOS

5

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Informatica

3 TEST

8

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4 PROBLEMAS

9
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Soluciones a los Problemas

12

Soluciones a los Tests

13

Contenido

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1. INTRODUCCION
Consideremos una familia de funciones en una sola variable x:
Φ(x; a0 , a1 , . . . , an )
que tiene n + 1 par´metros a0 , a1 , . . . , an , cuyos valores caracterizan a las funciones
a
individuales de ´sta familia.
e
El problema de la interpolaci´n para Φ consiste en determinar estos par´metros ai de
o
a
forma que para n + 1 pares de n´meros reales (ocomplejos) (xi , yi ), i = 0, 1, . . . , n con
u
xi = xj si i = j se cumple:

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Φ(xi ; a0 , a1 , . . . , an ) = yi ,

i = 0, 1, . . . , n

Llamaremos a los pares (xi , yi ) puntos soporte o tambi´n nodos, siendo xi la abcisa
e
soporte e yi la ordenada soporte.
Tendremos un problema de interpolaci´n lineal si Φ depende linealmente delos par´metros
o
a
ai :
Φ(xi ; a0 , a1 , . . . , an ) = a0 φ0 (x) + a1 φ1 (x) + a2 φ2 (x) + · · · + an φn (x)
Esta clase de problemas incluye la interpolaci´n polin´mica cl´sica:
o
o
a
Φ(xi ; a0 , a1 , . . . , an ) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn

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y tambi´n a la interpolaci´n trigonom´trica:
e
o
e
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Φ(xi ;a0 , a1 , . . . , an ) = a0 + a1 exi + a2 e2xi + · · · + an enxi ,

(i2 = −1)

siendo ekxi = cos kx + i sen kx, por la f´rmula de De Moivre.
o
La clase de problemas de interpolaci´n lineal tambi´n incluye la interpolaci´n por
o
e
o
splines. En el caso especial de splines c´bicos, las funciones φ suponen derivables dos
u
veces con derivada continua para x ∈ [x0 , xn ] y que coincidecon alg´n polinomio c´bico
u
u
en cada subintervalo [xi , xi+1 ] de una partici´n dada x0 < x1 < · · · < xn .
o
Hay dos esquemas no lineales que son de importancia, la interpolaci´n racional:
o

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a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n
Φ(xi ; a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bm ) =
b0 + b1 x + b2 x 2 + · · · + bm x m
y lainterpolaci´n exponencial
o

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Φ(xi ; a0 , a1 , . . . , an , λ0 , λ1 , . . . , λn ) = a0 eλ0 x + a1 eλ1 x + a2 eλ2 x + · · · + an eλn x
La interpolaci´n racional es importante en el proceso de mejor aproximaci´n a una
o
o
funci´n dada por otra que sea f´cilmente evaluada en un ordenador.
o
a
La interpolaci´n exponencial se usa en el an´lisis de procesos radioactivos.
o
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2. COEFICIENTES INDETERMINADOS
Es de uso exclusivo en los problemas de interpolaci´n lineal, ya que se trata de plantear un
o
sistema lineal en base al conjunto de puntos dado, apareciendo los coeficientes a calcular
en una combinacion lineal con las funciones base φi (x).
Supongamos un conjunto de puntos (xi , yi ), i = 0, 1, . .. , n donde yi = f (xi ). Se dice
que la funci´n g interpola a f en los puntos (xi , yi ) si
o
g(xi ) = f (xi ) = yi , para cada i = 0, 1, · · · , n

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En el caso de interpolaci´n polin´mica buscamos un polinomio
o
o
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g(x) = p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
donde se quieren determinar los coeficientes aj , 0 j
Por tanto se...