Intervalos y Pruebas De Hipotesis

Estadística Matemática
• Estimación por intervalos y prueba de hipótesis
– La estimación puntual no proporciona información al investigador sobre qué tan cerca está del “verdadero” parámetro poblacional
• ¿Si obtengo un estimador de 1.2, qué puedo concluir? • Necesito entonces apelar no sólo al valor de la estimación puntual sino a cómo luce la distribución muestral del estimador
– ¿Qué tanlejos estás 1.2 de 1? – Comenzaré por intervalos de confianza, luego iré a las pruebas de hipótesis – Comenzaré con un ejemplo

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• Estimación por intervalos – ejemplo
– Supongamos que tengo una población normal con media y varianza conocida 2 entonces la media muestral tiene distribuciónY normal Z con media y varianza 2/n. La variable estandarizada / n tiene distribuciónnormal (0,1). Podemos escribir entonces, conociendo los valores de la tabla normal
Y / n

P

1.96

1.96

0.95 0.95

P Y 1.96 / n o sintéticam ente Y 1.96 / n

Y 1.96 / n

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• Estimación por intervalos – ejemplo – ¿Cómo interpretarlo? • Cuando decimos que por ejemplo que Y 1.96 / n es el intervalo de confianza al 95% para , entendemos que este intervaloaleatorio contiene a con probabilidad de 0.95. Si = *

Y

z

*

/2

/ n

• Este es el estimador de intervalo de confianza para la media poblacional cuando es conocida • Es aleatorio, como lo es un estimador puntual, ya que los extremos cambiarán según tengamos muestras distintas

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• Estimación por intervalos – ejemplo • ¿Cómo NO interpretarlo? – “la probabilidad deque esté en dicho intervalo es 0.95” • Una vez calculado, ej. 0.65 0.23, ya no hay interpretación probabilística, puede contener o no contener al verdadero parámetro poblacional, no lo sabremos nunca • La interpretación probabilística correcta ex ante, es que si uno repite infinitamente el muestreo, para el 95% de las muestras aleatorias el intervalo de confianza construido contendrá aEstadística Matemática
• • • Estimación por intervalos – ejemplo tabla C.2 JW, reproducida en parte Intervalos de confianza simulados de una distribución normal ( ,1), con =2 Ejercicio: obtengo muestras aleatorias extraídas de una población normal que TIENE =2 y varianza unitaria. Luego obtengo para cada muestra el intervalo para la media muestral
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ,,,, 19 20 Promedio muestral 1,98 1,431,65 1,88 2,34 2,58 1,58 2,23 1,96 1,16 1,75 Intervalo al 95% 1,36-2,60 0,81-2,05 1,03-2,27 1,26-2,50 1,72-2,96 1,96-3,20 0,96-2,20 1,61-2,85 1,34-2,58 0,54-1,78 1,13-2,37

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• Estimación por intervalos – varianza desconocida
– Si no conocemos la varianza, no podemos construir el intervalo de confianza como lo hicimos antes – Debemos reemplazar la varianza poblacional porun estimador, la Y varianza muestral, pero entonces la variable S / n no se distribuye normal sino tn-1 (recuerden la definición que ya vimos) – Elegimos el nivel de confianza y nuevamente construimos el intervalo de confianza, ahora teniendo en cuenta que la variable se distribuye t. Los valores t se obtienen de tabla
n

P PY

t

/2

Y S/ n
/2

t

/2

1 t
/2

t

S/ n

YS/ n

1

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• Intervalo de confianza distribución t

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• Prueba de hipótesis
– ¿cómo evaluar las siguientes preguntas?
• ¿Es cierto que los profesionales tienen salarios más altos que los no profesionales? • ¿Reciben las mujeres salarios más bajos que los hombres? • ¿Son efectivos los programas de seguridad ciudadana?

– Todas estas preguntasrequieren una respuesta de SI/NO , más que de grado. La prueba de hipótesis será del estilo
• Ho: = *, versus H1: *

– Ho se denomina hipótesis nula. Vamos a diseñar contrastes de hipótesis (tests) para determinar si podemos rechazar o no rechazar la hipótesis nula.

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• Prueba de hipótesis
– Importante
• La prueba de hipótesis involucra el parámetro, queremos...