intervalos




Tema: Intervalos, Inecuaciones de primer y segundo grado yAplicaciones.


INTERVALOS
1. Definición: Se llama intervalo en la Recta Real, a todo subconjuntode la misma comprendido entre dos puntos fijos llamados extremos.
EjemplodeIntervalo:; donde a es el extremo inferior del intervalo y b es el extremo superior del mismo, además .
OBSERVACIONES:que conviene recordar:
selee“a menorque b”, es una desigualdad estricta.

selee “b mayor que a”, es una desigualdad estricta.

Como puedes observar, lo mismo se puede leer de dos formas distintas, ya que si a es menor que b entonces es que b es mayor que a, lo cual nos recuerda que toda desigualdad,,al igual que toda igualdad, en matemáticas se puede leer en dos sentidos, de izquierda a derecha, “, a menor que b” o de derecha aizquierda,“, b mayor que a”. En cualquier caso el vértice del ángulo siempre a punta al menor de los números.

se lee “a menor o igual que b” y si cambiamos el sentido de la lectura leeríamos,“b mayor o igual que a”, son desigualdades no estrictas.
Como puedes observar, el vértice del ángulo sigue apuntando al menor de los números.

Siy, entonces se puede concluir que a =b.

Cuando a y b noson iguales se escribe.

PROPIEDADES
Propiedad transitiva, siy ,entonces,dicho lo mismo de otro modo:

Si y , y edemas

Si entonces.

Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número, positivo, la desigualdad no varía, esto es: Si y .

Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, cambia el sentido de ladesigualdad, esto es: Si y .




Si dos números, cualquiera, cumplen una determinada desigualdad, sus inversos cumplen la desigualdad contraria, esto es:

2. Clases deintervalos:
2.1 Intervalos Abierto: Es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos dela recta comprendidos entre los extremos forman parte del nintervalo, salvo los propios extremos.En otras palabras=, observa que se trata de desigualdades estrictas.

También se expresa en ocasiones como:

Gráficamente: a b

2.2 Intervalo Cerrado: Es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo.

Enotras palabras=, observa que ahora no se trata desigualdad estricta.

Gráficamente: a b
2.3 Intervalo Semiabierto: Es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de éstos, forman parte del intervalo.
Intervalo Semiabierto por laderecha, o semicerrado por la izquierda, el extremo superior no forma parte del intervalo, pero el inferior si, en otras palabras
, observa que el extreme que queda fuera del intervalo va
asociado a una desigualdad estricta. También se expresa en .


Intervalo Semiabierto por la izquierda ,es semicerrado por la derecha, el extremo inferior no forma parte del intervalo, pero elsuperior si, en otras palabras
, observa que el extremo que queda fuera del intervalo va
asociado a una desigualdad estricta. También se expresa en .

Gráficamente: a b a b
Semirrectas reales:
Semirrecta de los números positivos , es decir, desde cero hasta infinito.
Semirrecta de losnúmeros negativos , es decir, desde el menos infinito, el infinito negativo, hasta cero.
Con lo que toda la recta de los números reales seria
Ejercicios resueltos:
1. Grafica los siguientes intervalos:
a.
b. b. c. d.
Solución


a. -2 5 b. -7 2 c. -3 6 d. -4 9
2....