INTRODUCCION A LA ECONOMETRIA Soluciones Problemas5

Departamento de Fundamentos del Análisis Económico.
Universidad de Alicante.
Curso 2013/14
ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA
Soluciones a los problemas del Tema 5
Notas: - En todos los ejercicios se supone que la muestra que se utiliza constituye
una muestra aleatoria simple.
- En todos los contrastes en los que no se indique el nivel de signi…cación,
utiliza = 0:05 como nivel designi…cación.
1. Una empresa de componentes electrónicos a…rma en su último informe que el 93%
de los componentes que fabrican no contienen defectos, el 5% tienen un defecto, y
el 2% tienen dos defectos. En una muestra de 500 componentes, se han encontrado
458 sin defectos, 30 con un defecto y 12 con dos defectos. Con estos datos, ¿hay
evidencia para rechazar la a…rmación que hace la compañía en suinforme?
Solución:
Llamando X a la v.a. que indica el número de defectos de un componente fabricado
por la compañía, contrastaremos la hipótesis nula de que la función de probabilidad
de X es f (0) = 0:93; f (1) = 0:05 y f (2) = 0:02; frente a la alternativa de alguna de
estas probabilidades no es correcta. La tabla de frecuencias observadas y esperadas
en este caso es:
Número de defectos
0
1
2

Oj
45830
12

Ej
500
500
500

0:93 = 465
0:05 = 25
0:02 = 10

El estadístico de contraste es:

T =

k
X
(Oj
j=1

Ej )2
Ej

;

que en esta muestra toma el valor:
t=

(458

465)2 (30 25)2 (12 10)2
+
+
= 1:5054
465
25
10

Se rechaza H0 si el valor del estadístico queda en ( 22;0:05 ; +1): Como 22;0:05 = 5:99;
se tiene que t = 1:5054 2
= (5:99; +1); luego en este caso no se rechaza H0 : Por
tanto, con estosdatos no hay evidencia para rechazar la a…rmación que hace la
compañía en su informe.

1

2. Un profesor a…rma que sus alumnos no estudian nada y que, por tanto, si realiza
un examen tipo test con 4 preguntas de verdadero/falso, el número de preguntas
acertadas por un alumno es una variable aleatoria (v.a.) con distribución binomial
Bi 4; 12 : Para comprobar su a…rmación, el profesor hace unexamen con estas
características a 240 alumnos, exigiéndoles que contesten a todas las preguntas. Los
resultados del examen se recogen en la siguiente tabla:
Respuestas acertadas 0
Número de alumnos 5

1
40

2
78

3 4
81 36

Contrasta la hipótesis del profesor. ¿Crees que los resultados obtenidos son mejores
o peores de los que cabría esperar si los alumnos escogiesen las respuestas al azar?Solución:
La función de probabilidad de una v.a. con distribución binomial Bi 4; 21 es
0:54 ; para j = 0; 1; :::; 4: Por tanto, en este caso la tabla de
f (j) = j!(44! j)!
frecuencias observadas y esperadas es:
Respuestas acertadas
0
1
2
3
4

Oj
5
40
78
81
36

Ej
240
240
240
240
240

0:54 = 15
4 0:54 = 60
6 0:54 = 90
4 0:54 = 60
0:54 = 15

El estadístico de contraste es:

T =

k
X
(Oj
j=1

Ej )2
Ej

;

queen esta muestra toma el valor:
t=

(5

15)2 (40 60)2 (78 90)2 (81 60)2 (36 15)2
+
+
+
+
= 51:6833
15
60
90
60
15

Se rechaza H0 si el valor del estadístico queda en ( 24;0:05 ; +1): Como 24;0:05 = 9:49;
se tiene que t = 51:6833 2 (9:49; +1); luego sí se rechaza la hipótesis nula, es
decir, no parece correcta la a…rmación que hace el profesor. Observando la tabla de
frecuencias observadas yesperadas, lo que vemos es que las frecuencias observadas
de 4 y 3 respuestas correctas están por encima de lo que cabría esperar, mientras
que las frecuencias observadas de 2, 1 y 0 respuestas correctas están por debajo de
lo que cabría esperar; por tanto, los resultados obtenidos en el test son mejores de
lo que cabría esperar si los alumnos escogiesen las respuestas al azar.
3. Basándose en datoshistóricos, una fábrica chocolatera considera que el 50% de sus
clientes pre…ere chocolate con leche, el 25% pre…ere chocolate con almendras, el 15%
2

pre…ere chocolate blanco y el 10% pre…ere chocolate negro. Sin embargo, se sospecha
que en los últimos años ha habido un cambio en las preferencias de los clientes. Para
analizar si ha sido así, se ha encuestado a 250 clientes de la compañía,...