Introduccion a la mecanica de los medios continuos

Matemáticas Especiales

Daniel H. Cortes C.

Introducción a la Mecánica del Medio Continuo

Introducción
Los materiales metálicos, comúnmente usados en ingeniería, poseen estructuras moleculares o cristalinas muy bien definidas. El acero posee una serie de estructuras cristalinas dependiendo de la fase que se considere. Por ejemplo, la fase α tiene una estructura cristalina cúbica centradaen el cuerpo, lo que indica que los átomos que conforman el material están organizados en cubos en los que ocho átomos están ubicados en las esquinas y uno en el centro. Si se analiza esta organización atómica, es claro que existen espacios vacíos en el interior del cubo, por lo tanto, se puede afirmar que desde el punto de vista microscópico todos los materiales son discontinuos.Afortunadamente, la escala de los objetos normalmente construidos de materiales como el acero es muy superior a la escala atómica. Por consiguiente, es válido suponer que la materia está totalmente distribuida al interior del volumen que ocupa el cuerpo. El modelo de material continuo no sólo es utilizado para ignorar la naturaleza discreta de la materia, también se utiliza para modelar el comportamientomecánico de materiales que no son continuos incluso a escala macroscópica. Por ejemplo, esta suposición se puede aplicar a materiales granulares como el concreto, o inclusive la arena, cuyas discontinuidades trascienden la escala microscópica. Otro campo donde el concepto de material continuo ha tenido un gran éxito es en el análisis mecánico de materiales bifásicos, como los suelos, en donde se consideraque tanto la fase sólida porosa como el fluido intersticial ocupan simultáneamente el volumen del cuerpo. En este capítulo sólo se tratará lo que concierne a las matemáticas fundamentales para el estudio de la mecánica del medio continuo. Específicamente, notación compacta y notación indicial, vectores y valores propios, transformación de coordenadas y teoremas de Gauss y Stokes.

Repaso deÁlgebra Lineal
En esta sección se realizará un repaso de los conceptos fundamentales del álgebra lineal, tales como operaciones de vectores y matrices. Se supone que el estudiante ha tomado un curso de álgebra lineal en sus primeros semestres, por lo tanto debe estar familiarizado con

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los conceptos expuestos en este resumen. Algunasdemostraciones serán omitidas, las cuales pueden ser consultadas en textos especializados. Matrices y Vectores Una matriz m x n es un arreglo ordenado de números, que consta de m filas y n columnas, y se representa de la siguiente manera:

⎛ A11 ⎜ ⎜A A = ⎜ 21 M ⎜ ⎜A ⎝ m1

A12 A22 M Am 2

L A1n ⎞ ⎟ L A2 n ⎟ , O M ⎟ ⎟ L Amn ⎟ ⎠

(1.1)

donde Aij es uno de los elementos de la matriz que está ubicadoen la i-ésima fila y la jésima columna. En este caso el índice i tomará valores de 1, 2,.. , m y el índice j tomará los valores de 1, 2,.. , n. En esta sección las matrices y vectores tendrán una barra en la parte inferior para diferenciarlos de otras entidades matemáticas. Las letras mayúsculas se usarán para matrices y las letras minúsculas para vectores. Muchos problemas en ingeniería semanejan con matrices 3x3 y vectores 1x3 o 3x1. Por lo tanto, los conceptos mostrados en esta sección se utilizarán sólo matrices y vectores de este tamaño. Además, para el caso de vectores los ejes coordenados x, y y z se reemplazaran por 1, 2 y 3, respectivamente. Los vectores son arreglos ordenados de números o funciones escalares que poseen usualmente tres componentes organizados en una columna o unafila. Según el tipo de organización los vectores reciben los nombres de vectores columna o fila:

a = (a1 , a 2 , a3 ) ,

⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜ a2 ⎟ . ⎜a ⎟ ⎝ 3⎠

(1.2)

Los vectores representan cantidades físicas que requieren tanto de magnitud como dirección para su completa definición. La velocidad y la fuerza son ejemplos de entidades físicas representadas mediante vectores. La...