Problemas Mecanica del medio continuo

1
1.1

Direcciones Principales
Ejemplo 1

Problema:
Encontrar los valores de las direcciones principales as´ como sus respectivos vectores de diı
recci´n principal para el siguiente tensor deesfuerzos:
o
⎡
⎤
123
σ = ⎣2 4 6⎦
361
Soluci´n:
o
El primer paso es encontrar los valores de las direcciones principales resolviendo el siguiente
determinante que est´ igualado a cero:
a
I|σ − λI | = 0
donde I es el tensor identidad. Este problema se puede expresar de la siguente manera:
1−λ
2
3
2
4−λ
6
=0
3
6
1−λ
el cual se puede desarrollar como
(1 − λ) [(4 − λ) (1 −λ) − 36] − 2 [2 (1 − λ) − 18] + 3 [12 − 3 (4 − λ)] = 0
Agrupando terminos semejantes se obtiene el siguiente polinomio:
λ3 − 6λ2 − 40λ = 0
a
cuya soluci´n es λ1 = 0, λ2 = −4 y λ3 = 10. Ya que est´ssoluciones representan los valores
o
principales del tensor de esfuerzos σ1 , σ2 y σ3 , estos se deben de ordenar de manera que
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 , por lo que
σ1 = 10
σ2 = 0
σ3 = −4
El siguientepaso es encontrar para cada valor principal su direcci´n principal correspondiente
o
resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:
0
[σ − σi I ] [ϕ σi ] = [0 ]
o
o
donde ϕ σi es el vector dedirecci´n principal asociado al valor de la direcci´n principal i.
Para σ1 = 10, primero se plantea el siguiente sistema de ecuaciones:
⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡
2
3
ϕ1
0
1 − σ1
⎣2
6 ⎦ ⎣ϕ2 ⎦ = ⎣0⎦
4 − σ1
ϕ33
6
1 − σ1
0
1

donde la soluci´n que nos interesa es aquella que no es la trivial, es decir, en la que no todos
o
los coeficientes de ϕi son cero.
El sistema de ecuaciones queda de lasiguiente manera:
⎛
⎞
−9 2
30
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 2 −6 6 0 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
3
6 −9 0
donde la soluci´n consiste en generar un rengl´n de ceros. La manera de proceder es la
o
o
siguiente: multipliquemosel primer rengl´n por un factor de 2/9 y lo sumamos al segundo
o
rengl´n. De la misma forma se multiplica en primer rengl´n por 1/3 y se suma al tercer
o
o
rengl´n. Esto se representa en la...