Investigacion 2

INVESTIGACIÓN DE DINÁMICA APLICADA Y TEORÍA DE CONTROL
STEPHANIE SERRACÍN
4-766-1986
1) ¿Qué criterios se utilizan para determinar si una función tiene transformada de Laplace? Ejemplos.
R= La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
 es llamado el operador de latransformada de Laplace.
Si  las siguientes condiciones   son  satisfechas:
-|f (t)|< Mta-1en  el intervalo 0≤ t ≤ t0  donde  M, a y t0  son algún número positivo.
- f (t) es una función  exponencial de orden α (cualquier número real) cuando  t →  ∞(esto es |f(t) | < Neat  para t > T donde N y T son números positivos),  y
- f (t) es una función continua o continua en tramos (que tiene un número finito  dediscontinuidades finitas) en cada intervalo to ≤  t ≤ T y to > 0
Entonces F(s) existe  para todo s >α. Estas últimas restricciones en  S no limita el uso de la transformada  ya que las restricciones  son condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace.
A partir de la definición  de la transformada de Laplace como una integral se tiene que si  se cumple  con las condicionesde la existencia, la transformada será única.

2) ¿Cuáles son las propiedades de la transformada de Laplace? Ejemplo de su aplicación.
R=
1. Linealidad: Determine: 
 
Solución
Usando la propiedad de linealidad tenemos: 
 
Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos: 
 
Haciendo álgebra: 
Por tanto: 

2. Traslación sobre el eje s. (1er. Teorema de traslación):
Determine:  
Solución
Parausar el primer teorema de traslación reconocemos: 
 
Y por tanto: 
 
Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos: 
 
Haciendo álgebra: 
 
Por tanto: 

3. Transformada de la derivada de orden n de una función:
Sabiendo que y(0)=3 y que y'(0)=-1, simplifique: 
 
Solución
Aplicando la propiedad de linelidad: 
 
Por el teorema de la transformada de la derivada: 
 
Y  
De dónde: 
 
Agrupandotérminos 
 
Y por tanto: 

4. Transformada de la Integral de una función:
Determine:  

Solución
Para aplicar el teorema reconocemos que: 
 
Es decir que:  
Aplicando el teorema de la transformada de la integral tenemos: 
 
Haciendo uso de la tabla de transformadas: 
 
Desarrollando la integral 
 
Así la integral queda: 
 
Por tanto 
 
5. Derivada de la transformada:
Sabiendo que y(0)=3 y que y'(0)=-1,simplifique: 
 
Solución
Aplicando la propiedad de linealidad: 
Por el teorema de la transformada de la derivada: 
Y 
 
De dónde: 
 Agrupando términos 
 Y por tanto: 
 
6. Integral de la transformada:
Determine: 
 
Solución
Para aplicar el teorema reconocemos que: 
 
Es decir que: 
 
Aplicando el teorema de la transformada de la integral tenemos: 
 
Haciendo uso de la tabla de transformadas: 
 Desarrollando la integral 
 
Así la integral queda: 
 
Por tanto 

7. Transformada de la función escalón:
Determine la transformada de la función cuya gráfica es: 
 
Solución
Esta función se describe como: 
 
Así 
 
Usando la fórmula de la transformada de la función escalón: 
 
Y por tanto 

8. Traslación en el eje t:
Calcule la transformada de: L{(3t + 1)U2(t)}
Respuesta
De acuerdo con el segundoteorema de traslación:
L{(3t + 1) | {z } f(t) U2(t) | {z } Ua(t) } = e −2s L{3(t + 2) + 1 | {z } f(t+a) }
= e −2s L{3t + 7}
= e −2s (3L{t} + 7L{1})
= e −2s 3 + 7
L{(3t + 1)U2(t)} = (7 s + 3 s 2 )e -2s
9. Transformada de funciones periódicas:
Determine la transformada de la función cuya gráfica es: 
 
Solución
Esta función es periódica con período T=2 y para el cálculo de su transformadapodemos utilizar la fórmula: 
 
Puesto qur la función es seccionada en el intervalo [0,2] entonces la integral se calcula también por secciones: 
  Así: 
 
Por tanto 

10. Teorema de Convolución:
Determine 
 
Solución 
En este caso 
 
Donde 
 
Si usamos el teorema de Convolución: 
 
Como 
 
y 
 
Entonces: 


3) ¿Cuál es el método de expansión de fracciones parciales para encontrar transformadas...