Investigacion

2. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Los números más utilizados son los números naturales, usados para contar y ordenar, así como las fracciones positivas, surgidas de la necesidad práctica de expresar resultados de mediciones. Sin embargo, para hacer cálculo es necesario trabajar con el sistema de los números reales .
En Matemáticas I se trató lo referente a la identificación de los conjuntosde números naturales (N), los enteros (Z) y los racionales (Q) y al estudio de sus propiedades correspondientes.
Recordemos que el conjunto de los números racionales, el cual contiene al de los enteros, y éste a su vez contiene al de los naturales, está formado por todos aquellos números que se pueden expresar como el cociente (o razón) de dos números enteros.
Sin embargo, existen otrosnúmeros que no se pueden expresar como cociente de dos números enteros. Como un ejemplo se puede citar al problema que surgió al tratar de encontrar el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tenían longitud igual a uno (1). Al aplicar el teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados de las longitudes de los dos lados menores de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de lalongitud del lado mayor”, se tiene que:
.
La irracionalidad consistía en no poder expresar tal número como una fracción o como razón de dos números enteros. Es decir: .
A tales números, que no es posible expresarlos como el cociente de dos números enteros, se les dio el nombre de números irracionales, el cual es denotado con la letra I. El término matemático irracional proviene de la palabralatina irratio, la cual tiene su origen en la palabra griega alogos, por ser un número no expresable como cociente de dos números enteros. Obviamente, su significado contrasta con el lenguaje ordinario donde irracional significa algo ilógico o incomprensible.
Una de las características de esos Números Irracionales es que su representación en forma decimal es infinita y no es periódica. Entrealgunos de sus elementos encontramos:

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Por lo anteriormente expuesto, se deduce que los números racionales no “agotan” la existencia de los números posibles, por cuanto muchos problemas, no admiten solución en el conjunto de los números racionales. De allí que nuevamente es obligante “ampliar” el campo numérico y, de esta manera, crear el conjunto de los números irracionales.
Por lotanto, al unir al conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales, resulta el conjunto de los números reales. Se denota con la letra R y la intersección del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales es igual al conjunto vacío , esto quiere decir que un número real o es un número racional o un irracional, pero nunca puede ser lasdos cosas a la vez.
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES
Los números reales pueden ser representados geométricamente por los puntos de una recta (el eje real). Elegido un punto sobre la recta para representar el cero y otro para representar el uno, queda determinada la escala del eje real. De esta forma, a cada punto del eje corresponde un número real y sólo uno, e inversamente, cadanúmero real queda representado por un solo punto.
LOS NÚMEROS DECIMALES
Todo número real tiene un desarrollo decimal de la forma:
,
donde es un número natural y cada es uno de los dígito de 0 a 9. La notación es una escritura abreviada de la serie:

Los números racionales e irracionales se pueden distinguir por su representación decimal. Un número racional tiene un desarrollo decimallimitado (también llamado ilimitado de periodo cero) o ilimitado periódico. Por ejemplo: ; ; . Sin embargo, la representación decimal de los números irracionales es ilimitada NO periódica. Por ejemplo, ;
Expresión decimal de una fracción. Para expresar un número racional en forma decimal basta dividir el numerador entre el denominador. Hay dos casos:
* La división es exacta, hay un número...