IV UNIDAD ALGEBRA LINEAL

IV UNIDAD. ESPACIOS VECTORIALES
4.1 Espacio vectorial
En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operacióninterna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedadesfundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.


4.2 Sub espacio vectorial y propiedades
Sea H un subconjunto no vacío de un espaciovectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V. 
Existen múltiplesejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V.


Propiedades
1).El vector cero de V está en H.2
2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en
H, la suma u + v está en H.
3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Estoes, para cada
u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

4.3 Combinación lineal e independencia lineal
COMBINACIÓN LINEAL
Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entoncescualquier vector de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.
Una combinación lineal en M23

Conjunto generador.
Se dice que losvectores v1, v2, …, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismo. Es decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2, …, an talesque v=a1v1+a2v2+…+anvn
Cuatro vectores que generan a M22




Espacio generado por un conjunto de vectores.

Sean v, v2, …, vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por {v1,...