Jguy

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 75, noviembre de 2010, páginas 71–87

Deducción y extensión más general del teorema de Pitágoras
Julio C. Barreto García (L. B José Antonio Sosa Guillen, L. B José Antonio Páez, UPEL-IMPM)
Fecha de recepción: 11 de agosto de 2009 Fecha de aceptación: 28 de mayo de 2010

Resumen

En este trabajo expresamos de manera deductiva otrasexplicaciones en torno al Teorema de Pitágoras tomando en consideración la idea de área, las cuales tratándolas desde un punto de vista didáctico pueden ayudarnos en el proceso de enseñanza. Pasaremos de un caso particular en el cual los lados del triángulo rectángulo tienen cuadrados sobre sus lados, a un caso un poco general en el cual sean triángulos equiláteros, pentágonos, otros polígonos,semicírculos, lúnulas, etc. Área, Productos Notables, Teorema de Pitágoras, Cuadratura, Media Geométrica.

Palabras clave

Abstract

In this paper we express in a deductive way other explanations about the Pythagorean Theorem, taking into consideration the idea of area, which dealt with from an educational point of view can help in the teaching process. We come from a particular case in whichthe sides of the triangle are squares on its sides, a little at a general case in which are equilateral triangles, pentagons, other polygons, semicircles, Lúnula etc. Area, Products Remarkable Theorem of Pythagoras, Quadrature, Geometric Mean.

Keywords

1. Introducción
Durante mucho tiempo, tomando en consideración la idea de área se ha pensado en la posibilidad de construir figurasgeométricas sobre los lados del triángulo rectángulo que cumplan esta relación y operando con los triángulos equiláteros, polígonos regulares, semicírculos y lúnulas, etc. nos dimos cuenta que efectivamente se cumple la relación Pitagórica, siempre y cuando se coloquen sobre los lados del triángulo rectángulo figuras geométricas que cumplan lo siguiente: Sobre las longitudes de los catetos colocamosfiguras que sean semejantes con la figura colocada sobre la longitud de la hipotenusa; esto en el caso que sean poligonales, o en un caso aun mas general hablaremos de figuras homotéticas. Esta nueva forma de ver el Teorema de Pitágoras, mas general a la de Bhaskara, permitirá a nuestros estudiantes divertirse operando con figuras geométricas junto a sus compañeros fomentando la unión grupal y lesservirá para ir conociendo un poco lo que en matemática significa el concepto de generalización o extensión, no solo por el hecho de no ser ya cuadrados, sino por que aprenderán a cuadrar los triángulos y a partir de allí podemos aplicárselos a cualquier polígono bien sea este regular o no mediante triangulación y aplicaciones repetidas del teorema de Pitágoras, dividiendo los polígonos en variostriángulos.

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Deducción y extensión más general del teorema de Pitágoras
J. C. Barreto García

2. Teorema de Pitágoras: Métodos Geométricos
"La imaginación tiene sobre nosotros mucho más imperio que la realidad." Jean de la Fontaine Según lo deducido en (Barreto, 2008) tenemos que se cumple que: Teorema 1: En todo triángulo rectángulo,el área del cuadrado construido sobre la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre las longitudes de los catetos. Podemos también hablar del reciproco de este teorema de manera intuitiva, pues a partir de estos tres cuadrados podemos formar un único triángulo rectángulo. El cual es el Teorema reciproco:
1 Teorema 1.1 (Reciproco ): Si se cumpleque al formar un triángulo con los cuadrados de lados c (amarillo), y de lados a y b (azul y rojo), el área del cuadrado más grande de lado c (amarillo) es igual a la suma de las áreas de los otros dos cuadrados menores a y b (azul y rojo), entonces el triángulo que forman es rectángulo (el ángulo opuesto al lado c es recto).

Este estudio geométrico de la posibilidad de sumar (unión) estas...