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DERIVADA
1.- Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica 2.- Derivadas laterales. 1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.
Definición: Se llama derivada de una función f(x) en un punto x=a, y se representa df f ´ (a)  D f (a)  (a) , al siguiente límite (si existe): dx f ( x )  f (a ) f (a  h )  f ( a ) f  (a )  lim  lim xa h0 xa hEjemplo: Halla la derivada de y  x 2 . A continuación, calcula la derivada en el punto x=2.

dx 2 ( x  h) 2  x 2 x 2  2 xh  h 2  x 2 2 xh  h 2 h( 2 x  h) y'   lim  lim  lim  lim h 0 h 0 h 0 h 0 dx h h h h  lim (2 x  h)  2 x
h 0

dx 2 Entonces :  2x dx
En x = 2 la derivada es: 2(2)=4 Calcula la derivada de y  x 3

dx 3 ( x  h) 3  x 3 x 3  3x 2 h  3xh 2  h 3  x 3 y'  lim  lim  3x 2 h 0 h 0 dx h h 3 dx Entonces :  3x 2 dx

Ejemplo: Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo: f (x) = 2x2 + 5x Solución:
f ' 2  lím
h0

f (2  h)  f (2) 2 (2  h)2  5 (2  h)  18 2 (4  4h  h 2 )  10  5h  18  lím  lím  h0 h 0 h h h

 lím
h 0

8  8h  2h 2  10  5h  18 2h 2  13h h(2h  13)  lím  lím  lím (2h  13)  13 h 0h 0 h 0 h h h

Interpretación geométrica: El conjunto de funciones reales de variable real es tan amplio que es prácticamente imposible encontrar propiedades generales para todas. Si nos restringimos a las funciones continuas ya pueden establecerse algunas propiedades importantes como los teoremas de Bolzano y de Weierstrass. Pero en las funciones continuas todavía se plantean muchosproblemas como puede ser la determinación de la recta tangente en un punto de la gráfica. Con la definición intuitiva de que la tangente es la recta que toca a la curva sólo en ese punto la recta de la primera figura no sería tangente, mientras que en las otras figuras habría varias tangentes (alguna bastante extraña) en un mismo punto.

Lo cierto es que esa definición intuitiva sólo es válida para lacircunferencia y curvas similares: cerradas y convexas (“sin baches”). Para el caso general hace falta una nueva definición que sea válida siempre y que corresponda a la idea intuitiva en los casos en que ésta pueda aplicarse. Y esa definición es la siguiente: “La recta tangente a una curva en un punto P(a, f(a)) es la posición límite hacia la que tienden las rectas secantes que pasan por ese puntoP y por otro punto Q de la curva, cuando el segundo punto Q se acerca a P”.

Para poder hallar la ecuación de esa recta tangente en el punto de coordenadas A(a, f(a)), si la escribimos en forma punto-pendiente: y – f(a) = m(x – a) necesitamos saber el valor de la pendiente m. Para ello, si tenemos en cuenta que la recta tangente es la posición límite de las secantes, entonces su pendiente seráel límite de las pendientes de las secantes, con lo que:

Punto Fijo

Pendiente f(a  h)  f(a) A……………….P1.........................sec nº 1….........α1…......... m1  tg α1  h f(a  h)  f(a) A……………….P2.........................sec nº 2….........α2…......... m 2  tg α 2  h ………………...................................................................................................... ……………….…................................................................................................

Punto Variable

Recta

Ángulo

Cuando esa situación la llevemos al límite, es decir, cuando acerquemos P hacia A, tendremos: A…………….A……………......tangente...........α….... m  tg α  lim
f(a  h)  f(a)  f ´ (a) h

h 0

Por tanto, la derivada de una función f(x) en un punto “a” puedeinterpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f(a)).

Interpretación física: El cálculo de derivadas o cálculo diferencial surge en el siglo XVII al tratar de resolver una serie de problemas que aparecían en las Matemáticas y en la Física, como son (entre otros): la definición de velocidad la determinación de la recta tangente a una...