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Breve historia de las ecuaciones diferenciales
Estas notas pretenden mostrar una breve historia de las ecuaciones diferenciales. Se ha pretendido dar más énfasis a las ideas que a las biografías de los matemáticos creadores de la teoría.

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden:

Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculo diferencial a finales del sigloXVII llevaron gradualmente a crear una nueva rama de las matemáticas, a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales se convirtieron en una rama independiente y su resolución un fin en sí mismo.
Ya Newton (los creadores del cálculo infinitesimal fueron Leibniz y Newton) observo que si =0, entonces es un polinomio de grado , en particular, depende deconstantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo que esperar hasta el siglo XIX para poder ser demostrada con rigor (la demostración estándar actual usa el teorema del valor medio).
Los matemáticos de la época con frecuencia usaban argumentos físicos: si denota la posición en el tiempo de una partícula, entonces es su velocidad. Si , se tiene que la velocidad es nula, es decir, lapartícula no se mueve y su posición, por tanto, permanece constante. En 1693 Huygens habla explícitamente de ecuaciones diferenciales y en el mismo año, Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales son funciones de elementos del triangulo característico









Figura 1: El triangulo característico.

En 1690, JacquesBernouilli planteo el problema de encontrar la curva que adopta una cuerda flexible, inextensible y colgada de dos puntos fijos, que Leibniz llamo
Catenaria (del latín cadena). Galileo pensó que esta curva era una par ́abola, mientras que Huygens probo que esto no era correcto.










Figura 2: Una catenaria.

En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouillipublicaron soluciones independientes. La de Jean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente en los textos de mecánica:
Consideremos un cable homogéneo sujeto por sus dos extremos (que suponemos a la misma altura) y que distan 2 uno del otro y sea ρ la densidad del cable. Sea la función que describe la posición del cable. Por conveniencia se asumir ́a que la altura mínima del cable ocurre enx = 0 (o en otras palabras, y’(0) = 0.




T



0Figura 3: Deducción de la ecuación de la catenaria.

Sea () un punto arbitrario del cable (por conveniencia lo situamos en el tramo positivo de las en otro caso, el razonamiento es completamente igual) y pensemos en las fuerzas que actúan en el trozo de cable desde el punto de altura minina hasta (:
El peso P. Si es la masa y es la longitud del trozo consideradodel cable, se tiene = y por tanto, P = (0, −), donde es la aceleración terrestre.

La fuerza T0 que ejerce la parte izquierda del cable sobre el punto de altura mínima. Se tiene = (−, 0)

La fuerza T que ejerce la parte derecha del cable sobre el extremo derecho () del trozo de cable considerado. Observando la figura 3 se tiene que

T= (,).

La condición de equilibrio es P + +T = 0 .Ocomponente a componente:



Dividiendo ambas expresiones.
(1)
A partir de ahora, denotaremos .
Como (véase la figura 1)



Si derivamos (respecto a ) la ecuación (1), se obtiene:





O escrito de otro modo,




Por supuesto, esto es una ecuación de segundo orden; pero haciendo el cambio , se convierte en :

(2)
Cuando una ecuación de primer orden no es exacta, es...