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Páginas: 7 (1563 palabras)
Publicado: 27 de abril de 2013
Leyes de exponentes y logaritmos
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
MATEMÁTICAS BÁSICAS
LEYES DE EXPONENTES Y LOGARITMOS
LEYES DE EXPONENTES
Sea un número real x . Si se multiplica por sí mismo se obtiene x ⋅ x . Si a este resultado se multiplica
nuevamente por x resulta x ⋅ x ⋅ x . De manera sucesiva, si x se multiplica por si misman veces, se
obtiene: x ⋅ x ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ x
n
veces
Para simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que:
x ⋅ x = x2
x ⋅ x ⋅ x = x3
x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = x4
x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = x5
y en general:
x ⋅ x ⋅ x ⋅⋅⋅ x = xn
n veces
Donde x es llamada base y el número n escrito arriba y a su derecha, es llamado exponente. El
exponente indica el númerode veces que la base se toma como factor.
Primera ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.
Entonces, se cumple que:
x n ⋅ x m = x n+ m
Al multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
Ejemplos.
(x )(x ) = x = x
2) (4a )(5a ) = 20a
3) (2k )(− k )(5k ) = −10k
3
4) (8ab ) a b = 6 a b
4
1)
3
2
6
4
5
8
2
3
5)
3+ 2
2
7
2
13
3 4
48 9 10
1
6 3 5 8 6 4 1
p q = − p 9 q10
p q − p q q = −
240
5
5
4
12
1
Leyes de exponentes y logaritmos
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Segunda ley de los exponentes
Seaun número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.
Entonces, se cumple que:
xn
x
m
= x n−m
Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.
Ejemplos.
x7
1)
4
= x 7 −4 = x 3
x
10 a 8
= −2 a 5
2)
3
− 5a
− 28 k 7 m 3
3)
= 4k 2 m 2
− 7k m
2 6
a
8
3
= a2
4) 1
3
a4
4
5− 32 x 3 y 6 z 7
2
= − xy 4 z 6
3
48 x y z
5)
2
2
Tercera ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero. Si en la ley anterior, se hace que
xn
x
n
n = m , se tiene que:
= x n−n = x 0 .
Pero al dividir una expresión por si misma el resultado es la unidad, así que se cumple que:
x0 = 1
Cualquier base diferente de cero elevada a la potencia ceroes uno.
x2
1)
2
= x 2−2 = x 0 = 1
x
0
2) 5a = 5(1) = 5
3)
(xyz )0 = 1
2
Leyes de exponentes y logaritmos
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
27 a 3
=3
9a 3
x3 x4 x6
x13
=
= − x13−13 = − x 0 = −1
5)
6 7
13
−x x
−x
4)
Cuarta ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero y dosnúmeros naturales n y m también diferentes de cero.
Entonces, se cumple que:
(x )
n m
= x n⋅m
Al elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
Ejemplos.
1)
(x )
= x 3(2 ) = x 6
3 2
( )
3) (e )
3 4
= a 3(4 ) a 12
5 3
= e 5 (3 ) = e15
2) a
Quinta ley de los exponentes
Sean dos números reales x y
Entonces, secumple que:
y
diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.
(xy )n = x n y n
El producto de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual a un producto de
cada factor elevado al exponente.
Ejemplos.
( ) = 2 ⋅a
2) (− 3k ) = (− 3)
1) 2 a
2 5
5
10
4 3
3
= 32 a10
⋅ k 12 = −27 k 12
( ) = 5 ⋅ a b = 625 a b
4) (4 xy ) = 4⋅ x ⋅ y = 16 x y
10
5) ( m n p ) = 10 ⋅ m ⋅ n p
4
3
3) 5ab
4
2 2
5
2
2
3 6
4 12
2
4 12
6
6
2
30
12
6
18
= 1' 000 ,000 m 30 n12 p18
Sexta ley de los exponentes
Sean dos números reales x y
Entonces, se cumple que:
y
diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.
3
Leyes de exponentes y logaritmos...
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
MATEMÁTICAS BÁSICAS
LEYES DE EXPONENTES Y LOGARITMOS
LEYES DE EXPONENTES
Sea un número real x . Si se multiplica por sí mismo se obtiene x ⋅ x . Si a este resultado se multiplica
nuevamente por x resulta x ⋅ x ⋅ x . De manera sucesiva, si x se multiplica por si misman veces, se
obtiene: x ⋅ x ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ x
n
veces
Para simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que:
x ⋅ x = x2
x ⋅ x ⋅ x = x3
x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = x4
x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = x5
y en general:
x ⋅ x ⋅ x ⋅⋅⋅ x = xn
n veces
Donde x es llamada base y el número n escrito arriba y a su derecha, es llamado exponente. El
exponente indica el númerode veces que la base se toma como factor.
Primera ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.
Entonces, se cumple que:
x n ⋅ x m = x n+ m
Al multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
Ejemplos.
(x )(x ) = x = x
2) (4a )(5a ) = 20a
3) (2k )(− k )(5k ) = −10k
3
4) (8ab ) a b = 6 a b
4
1)
3
2
6
4
5
8
2
3
5)
3+ 2
2
7
2
13
3 4
48 9 10
1
6 3 5 8 6 4 1
p q = − p 9 q10
p q − p q q = −
240
5
5
4
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1
Leyes de exponentes y logaritmos
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Segunda ley de los exponentes
Seaun número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.
Entonces, se cumple que:
xn
x
m
= x n−m
Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.
Ejemplos.
x7
1)
4
= x 7 −4 = x 3
x
10 a 8
= −2 a 5
2)
3
− 5a
− 28 k 7 m 3
3)
= 4k 2 m 2
− 7k m
2 6
a
8
3
= a2
4) 1
3
a4
4
5− 32 x 3 y 6 z 7
2
= − xy 4 z 6
3
48 x y z
5)
2
2
Tercera ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero. Si en la ley anterior, se hace que
xn
x
n
n = m , se tiene que:
= x n−n = x 0 .
Pero al dividir una expresión por si misma el resultado es la unidad, así que se cumple que:
x0 = 1
Cualquier base diferente de cero elevada a la potencia ceroes uno.
x2
1)
2
= x 2−2 = x 0 = 1
x
0
2) 5a = 5(1) = 5
3)
(xyz )0 = 1
2
Leyes de exponentes y logaritmos
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
27 a 3
=3
9a 3
x3 x4 x6
x13
=
= − x13−13 = − x 0 = −1
5)
6 7
13
−x x
−x
4)
Cuarta ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero y dosnúmeros naturales n y m también diferentes de cero.
Entonces, se cumple que:
(x )
n m
= x n⋅m
Al elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
Ejemplos.
1)
(x )
= x 3(2 ) = x 6
3 2
( )
3) (e )
3 4
= a 3(4 ) a 12
5 3
= e 5 (3 ) = e15
2) a
Quinta ley de los exponentes
Sean dos números reales x y
Entonces, secumple que:
y
diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.
(xy )n = x n y n
El producto de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual a un producto de
cada factor elevado al exponente.
Ejemplos.
( ) = 2 ⋅a
2) (− 3k ) = (− 3)
1) 2 a
2 5
5
10
4 3
3
= 32 a10
⋅ k 12 = −27 k 12
( ) = 5 ⋅ a b = 625 a b
4) (4 xy ) = 4⋅ x ⋅ y = 16 x y
10
5) ( m n p ) = 10 ⋅ m ⋅ n p
4
3
3) 5ab
4
2 2
5
2
2
3 6
4 12
2
4 12
6
6
2
30
12
6
18
= 1' 000 ,000 m 30 n12 p18
Sexta ley de los exponentes
Sean dos números reales x y
Entonces, se cumple que:
y
diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.
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