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CALCULO Infinitesimal I - Ing. Civil
Espacios M´tricos
e

Ejercicio 1
Curso 2013 - 2014

1

Ejercicio 1 .Determinar si el conjunto

i=2
∑

ai xi , con ai , x ∈ R, tiene estructura dei=0

grupo conmutativo respecto del producto y respecto de la suma. Nota.- ai es
un coeficiente y xi es la i-´sima potencia de x.
e
Soluci´n
o
Realmente, se trata de demostrar que (P2 (R),+) es un grupo conmutativo mientras
que (P2 (R), ·) no lo es.
Se demuestra que (P2 (R), +) es un grupo conmutativo:
a) ”+.es una operaci´n interna:
o

2
∑


p ∈ P2 (R) ⇒ p(x) =
ai xi 


i=0

q ∈ P2 (R) ⇒ q(x) =

2
∑
i=0

b) ”+.es asociativa:
(p(x) + q(x)) + r(x) =




bi x i 



( 2
∑

⇒ p(x)+q(x) =

2
∑

ai x +

i=0

ai xi +

i=0

2∑

)
bi x i

+

i=0

2
∑

2
∑

2
∑

bi x =

2
∑

(ai +bi ) xi ∈ P2 (R) .

i=0

2
∑

ci xi =

(ai + bi ) xi +

i=0

i=0

(ai + bi + ci ) xi =

i

i=0

i=02
∑
i=0

=

i

2
∑

ai xi +

2
∑

ci x i =

i=0

(bi + ci ) xi = p(x) + (q(x) + r(x))

i=0

c) ”+”tiene elemento neutro:
El elemento neutro claramente es es polinomionulo:

2
∑

0 xi = 0

i=0

d) Todo elemento tiene sim´trico (inverso) para ”+”:
e
Dado un polinomio p(x) =

2
∑

ai x ∈ P2 (R) sim´trico es −p(x) =
e
i

i=0

2
∑

−ai xi .i=0

e) ”+.es conmutativa:
p(x) + q(x) =

2
∑
i=0

1

ai xi +

2
∑
i=0

bi xi =

2
∑

(ai + bi ) xi =

i=0

Rafael Pita da Veiga V´zquez - Aleph Centro de Estudios
a

12
∑
i=0

(bi + ai ) xi = q(x) + p(x)

.

Por otra parte (P2 (R), ·) no es un grupo ya que la operaci´n ”·”no es interna:
o
p(x) · q(x) =

2
∑
i=0

ai x ·
i

2
∑

bi xi

i=0que es, en general, un polinomio de grado 4.
Ejercicio 2 .√
Demostrar que 7 ∈ R \ Q.
Soluci´n
o

√
Se demuestra por reducci´n al absurdo, es decir, se supone que 7 ∈ Q y se llega a
o
una...