Jocs Paradoxals

Paradoxa de l'alternança en processos
multiplicatius

Utilitzem el següent model multiplicatiu per descriure l'evolució de la cotització d'unes accions a borsa:
xn+1 = ξn xn ,

ξn =

α, p = 1/2,
β, p = 1/2.

És a dir, el preu de l'acció un dia qualsevol és el valor del dia anterior multiplicat
per un coecient que alterna aleatòriament entre α o β amb probabilitat un mig.
Denim elvalor esperat d'una variable aleatòria X com < X >= i pi xi on xi
són els diferents valors possibles de variable i pi les seves probabilitats. Observeu
que < ξn >=< ξn−1 >, és a dir, és constant en n.

Tenint en compte que el valor esperat d'un producte de variables
n
compleix < xn+1 >=< ξn >< xn >, demostreu que < xn >= α+β x0 on x0
2
és el valor inicial de l'acció.

Exercici 1.

ξnl'obtenim aplicant < X >= i pi xi i obtenim α+β , per demostrar la
2
igualtat anterior, substituim ξn en l'equació xn+1 = ξn xn :

n=1:

x1 =

α+β
2

x0

n=2:

x2 =

α+β
2

x1 =

α+β
2

α+β
2

n=3:

x3 =

α+β
2

x3 =

α+β
2

α+β
2

α+β
2

xn−1 =

x0 =
2

x0 =

2

α+β
2

x0

α+β
2

3

x0

.
.
.
xn =

α+β
2

α+β
2

n−1

x0=

α+β
2

n

x0

Explica, en no més de tres línies, la diferència entre valor esperat
i valor més probable.
Exercici 2.

n

El valor esperat s'obté de la mitjana aritmètica α+β x0 i el valor més
2
√
n
probable de la mitjana geomètrica
αβ x0 , la seva diferència més gran és
que el valor esperat → ∞ i el valor més probable → 0 segons els valors α i β .
1

Exercici 3. Al capde n dies, quin és el número més probable de vegades que
les acions pujaran? I que baixaran? Quin serà per tant el valor més probable
del capital al cap d'aquests n dies?

Associam els preu de les accions a números reals d'una recta vertical i posam
com a punt de referència el preu incicial d'una acció, això implica que tindrem
una sèrie innita de nombres més gran sobre i una sèrie innitade nombre sota. En tenir tants nombres sobre seu com sota seu ens diu que té les mateixes
possibilitats de pujar com de baixar. Per tant el nombre més probable de dies
que l'acció baixi o pugi sigui el mateix. En aquest cas, n pugen n .
2
2
Els altres casos com les acciones baixen els n dies, les acciones pugen els n
dies o les accions són estables els n dies són molt menys probables.
Simiram el cas en què el preu de les accions són sempre estables, veurem
és cas quasi del tot impossible. Seguirem associant els preus de les accions en
comparació amb els números d'una recta. Si comparam nombre incial amb els
innits números que poden haver en la recta per damunt o per davall seu veurem
que aquest nombre és un dels innits i la possibilitat de què torni a tocar nombre
és d'unaprobabilitat del 0.00000 . . . 1% i aquesta probabilitat és tant petita que
és quasi impossible comparat amb la possibilitat de què el nombre creixi o baixi,
per tant aquest cas és un dels menys probables.
Ara miram els casos en què el preu de les accions sempre pugen o sempre.
En tenir una quantitat innita de preus damunt i sota veiem que les possibilitats
de pujar o baixar són les mateixesi no sempre tindrem la sort de què sempre
pugin o la mala sort de què sempre baixin.
Per tant, el valos més probable de capital al cap de n dies és xn =

√

αβ

n

x0 .

Suposem que α = 1, 3 i β = 0, 75. Si el preu d'una acció és
inicialment x0 = 2 e, quin serà el preu més probable al cap d'una setmana? Si
compreu 100 accions, quin serà el valor més probable del capital al nal dela
setmana? És igual que el valor esperat?

Exercici 4.

√

n

La fòrmula del valor mé probables és xn = αβ x0 i la fòrmula del valor
n
esperat és xn = α+β x0 on n és el nombre de dies.
2
Els valors més probables són:

n=7:

x7 =

n=100:

√

x100 =

7

1.3 ∗ 0.75

∗ 2 = 1.830400605

√

100

1.3 ∗ 0.75

∗ 2 = 0.5639762047

Els valors esperats són:

n=7:...