Joder

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu A

d B s=B+mv

Optimizaci´n o
Fco Javier Gonz´lez Ortiz a

CIENCIAS

Directorio
Tabla de Contenido Inicio Art´ ıculo

c 2004 gonzaleof@unican.es 11 de junio de 2004

Doc Doc Versin 1.00 Volver Cerrar

´ Optimizacion

MaTEX

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Tabla de Contenido
1. Introducci´n o 2. Esquema general 3.Ejercicios Soluciones a los Ejercicios

r=A+lu A

d B s=B+mv

CIENCIAS

Doc Doc Volver Cerrar

´ Optimizacion

MaTEX

Secci´n 1: Introducci´n o o

3

MATEMATICAS 2º Bachillerato
r=A+lu A

1. Introducci´n o Una de las aplicaciones m´s usuales del c´lculo, en otros campos de las a a matem´ticas, consiste en el c´lculo de valores m´ximos y m´ a a a ınimos. Consid´rese con qu´frecuencia o´ e e ımos o leemos frases como el mayor beneficio, el menor coste, el producto m´s barato, el tama˜o ´ptimo, el menor a n o a ´rea, la menor distancia. Este tipo de preguntas se realizan constantemente en el campo de la econom´ del transporte, de la ingenier´ medicina, etc. ıa, ıa, En el campo de las matem´ticas estos problemas ocupan un lugar ima portante y requieren el esfuerzo deespecialistas que trabajan en resolverlos dentro la rama conocida en general como T´cnicas de Optimizaci´n. e o

d B s=B+mv

CIENCIAS

Doc Doc Volver Cerrar

´ Optimizacion

MaTEX

Secci´n 1: Introducci´n o o

4

MATEMATICAS 2º Bachillerato
r=A+lu A

Ejemplo 1.1. Un rect´ngulo tiene un per´ a ımetro de 100 cm. ¿Cu´les han de a ser las dimensiones del rect´ngulo para obtener un ´ream´xima? a a a Soluci´n: Realizamos un dibujo y planteamos las inc´gnitas. Siendo b el lado o o del rect´ngulo y h la altura del rect´ngulo, a a

d B s=B+mv

CIENCIAS

b

h

la funci´n objetivo es el ´rea que viene dado por A = b h, la restricci´n es el o a o per´ ımetro p = 100 del rect´ngulo a p = 2 b + 2 h = 100 Despejamos h, h= y sustituimos en A A = b (50 − b) Para encontrar el valorm´ximo, derivamos a A = 50 − 2b = 0 =⇒ b = 25 quedando las dimensiones del rect´ngulo a b=25 h=25 100 − 2 b = 50 − b 2

Doc Doc Volver Cerrar

´ Optimizacion

MaTEX

Secci´n 1: Introducci´n o o

5

MATEMATICAS 2º Bachillerato
r=A+lu A

Ejemplo 1.2. A partir de 12 cm2 de material queremos construir una caja abierta con un ancho fijo de 2 cm. ¿Cu´les han de ser el largo x y el alto h a dela caja para obtener un volumen m´ximo? a Soluci´n: Siendo x el largo de la base y h la altura de la caja, la la funci´n o o objetivo es el volumen viene dado por V = 2xh

d B s=B+mv

CIENCIAS

La restricci´n es la superficie de todas las caras excepto la superior, y o tiene que ser S = 12. De la figura se tiene S = 2 x + 4 h + 2 x h = 12 Despejando, expresamos h en funci´n de x: o 6−x h= 2+xDoc Doc Volver Cerrar

´ Optimizacion

MaTEX

Secci´n 1: Introducci´n o o

6

MATEMATICAS 2º Bachillerato
r=A+lu A

y sustituimos en V 6−x 12 x − 2 x2 = 2+x 2+x Para encontrar el valor m´ximo, derivamos a V = 2x V = (12 − 4 x) (2 + x) − (12 x − 2 x ) (2 + x)2 2 −2 x − 8 x + 24 = (2 + x)2
2

d B s=B+mv

CIENCIAS

Igualamos V = 0, V = 0 =⇒, x2 + 4 x − 12 = 0 =⇒ x = 2 x = −6Comprobamos que en x = 2 hay un m´ximo a x −∞ −6 2 V − 0 + 0 V 4 quedando las dimensiones de la caja ´ptima o x=2 h=1 +∞ −

y el volumen m´ximo V = 2 · 2 · 1 = 4 cm3 . a
Doc Doc Volver Cerrar

´ Optimizacion

MaTEX

Secci´n 2: Esquema general o

7

MATEMATICAS 2º Bachillerato
r=A+lu A

2. Esquema general Para la mayor´ de los ejercicios de optimizaci´n damos un esquema genıa oeral que ayuda a resolver los problemas. 1. Asignar s´ ımbolos a todas las cantidades y si es posible representar gr´ficamente el problema a 2. Escribir la funci´n objetivo que hay que minimizar-maximizar, o que en general tendr´ m´s de una variable. a a 3. Escribir la restricci´n del problema que relacionan las variables. o 4. Obtener a partir de la restricci´n la funci´n objetivo con una o o...