juegos terminados

PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE

1.- Determina Las Coordenadas De Los Vertices Del Polígono De La Figura.

SOLUCIÓN
A (–2, 5)
B (4, 2)
C (2, –4)
D (– 5, –1)






2.- Dibujar El Triángulo Cuyos Vértices Son Los Dos Puntos: A(5, 2); B(–1, 4) Y C (0, – 5).
Solución








3.- Hallar la distancia entre los puntos: A(–2, 6) y B(1,10).

Solución

4.- Hallar lascoordenadas del punto situado sobre el eje Y equidistante de los puntos M (5, 5) y N (4, 2).

Solución

Como el punto pedido P está sobre el eje Y, y su abscisa es cero, su ordenada la designamos por y, entonces P(0, y).

La distancia de P a M es:



Y la de P a N:



Como ambas deben ser iguales:



Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad y efectuamos los cuadradosindicados, quedando:

25 + 25 – 10y + y2 = 16 + 4 – 4y + y2

Cancelando y2 y dejando en el primer miembro solamente los términos en y:

– 10y + 4y =16 + 4 –25 –25

Lo que nos lleva a y = 5.

La respuesta es (0, 5).


5.- Dados los puntos A(–4, 8) y B(8, 0). Sean M el punto medio de AB y N el punto medio de AM. Hallar las coordenadas de N.

Solución

Si M tiene coordenadas (xM,yM) entonces:







Ahora:




Respuesta N(–1, 6).


6.- Uno de los extremos de un segmento es el punto A(4, 6) y su punto medio es M(0, 1). Hallar las coordenadas del otro extremo del segmento.

Solución

Sea B(xB, yB) el otro extremo. Sabemos que:




Sustituyendo xA = 4, yA = 6; xM = 0, yM =5 1, tenemos que:




De los cuales obtenemos, respectivamente: xb= 4 y yb = 8.


7.- Demostrar que los puntos A(–1, 1), B(2, 2), C(8, 4) y D(5, 3) pertenecen a la misma recta.

Solución
Pendiente de AB con A(–1, 1) y B(2, 2) :




Pendiente de AC con C(8, 4):




O sea que las rectas AB y AC tiene la misma pendiente y un punto común: A. Por lo tanto, coinciden, es decir que los puntos A, B y C pertenecen a la misma recta, o dicho de otromodo, están alineados.

Si D(5, 3), entonces :



que es igual a la pendiente de AC, luego A, C y D están alineados. Finalmente, si tomamos además E(–4, 0), entonces:




Por lo tanto A, B, C, D y E son colineales.


8.- Dada la recta r : 3x + 4y – 12 = 0 y el punto P(1, 1). Hallar la distancia de P a r.

Solución

Tenemos que la pendiente de r está dada por:



Ahora lapendiente de la recta perpendicular a r es:



Luego la ecuación de la recta r’ que es perpendicular a r y pasa por P(1, 1);



Hallemos ahora las coordenadas del punto I de intersección de r con r’. Para ello resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas.





Usando el método de sustitución:










Sustituyendo en (2):





Así que:Sólo falta hallar la distancia entre los puntos P e I. Aplicando la fórmula de distancia:




Si hiciéramos todo el proceso que acabamos de exponer, el resultado al cual llegaríamos sería el que presentamos a continuación mediante la fórmula:

9.- Hallar la distancia del punto (1, 1) a la recta cuya ecuación es 3x + 4y – 12 = 0.

Solución

Evaluamos el primer miembro para x = 1 yy = 1.



Así que el numerador de la fórmula es 5, veamos el denominador, como aquí A = 3 y B = 4, entonces:



Así que el denominador es 5, luego:





10.- Encontrar la ecuación de una circunferencia de centro en el origen y de radio 5.

Solución










11.- Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (4, –5) y cuyo centro es C (6, – 4).Solución

La longitud del radio de la circunferencia es igual a la distancia que hay entre los puntos mencionados, es decir:











12.- Determinar si la ecuación x 2 1 y 2 – 14x – 8y 1 40 5 0 representa o no una circunferencia. En caso de que lo sea, encuentra. a) el radio; b) las coordenadas del centro; c) el perímetro de la circunferencia y d) su área.

Solución...