Jun Matapli_j2013

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID
PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS
OFICIALES DE GRADO

Curso 2012-2013
MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS
CIENCIAS SOCIALES II

INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN
INSTRUCCIONES: El alumno deberá elegir una de las dos opciones A o B que figuran en el presente
examen y contestar razonadamente a los cinco ejercicios delos que consta la opción elegida.
Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de
capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico.
CALIFICACIÓN: La puntuación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo.
TIEMPO: Una hora y treinta minutos.

OPCIÓN A
Ejercicio 1. (Calificación máxima: 2 puntos)


3 2
0
Dadala matriz A = 1 0 −1 .
1 1
1
a) Calcúlese A−1 .
b) Resuélvase el sistema de ecuaciones dado por:

   
x
1
A · y  = 0 .
z
1

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)
Se desea maximizar la función f (x, y) = 64,8x + 76,5y
6x + 5y ≤ 700,

sujeta a las siguientes restricciones:

2x + 3y ≤ 300,

x ≥ 0,

y ≥ 0.

a) Represéntese gráficamente la región de soluciones factibles y calcúlenselas coordenadas de sus vértices.
b) Determínese el valor máximo de f sobre la región, indicando el punto donde se alcanza dicho máximo.
Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)
Se considera la función real de variable real definida por f (x) = 3e−2x .
a) Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x = 0.
b) Calcúlese el área de la región plana acotada limitada por lagráfica de f , las rectas x = 0, x = 0,5 y el eje
de abscisas.
Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)
Al analizar las actividades de ocio de un grupo de trabajadores fueron clasificados como deportistas o
no deportistas y como lectores o no lectores. Se sabe que el 55 % de los trabajadores se clasificaron como
deportistas o lectores, el 40 % como deportistas y el 30 % como lectores. Seelige un trabajador al azar:
a) Calcúlese la probabilidad de que sea deportista y no sea lector.
b) Sabiendo que el trabajador elegido es lector, calcúlese la probabilidad de que sea deportista.
Ejercicio 5. (Calificación máxima: 2 puntos)
El número de megabytes (Mb) descargados mensualmente por el grupo de clientes de una compañía de
telefonía móvil con la tarifa AA se puede aproximar por unadistribución normal con media 3,5 Mb y
desviación típica igual a 1,4 Mb. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 49.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 3,37Mb?
b) Supóngase ahora que la media poblacional es desconocida y que la media muestral toma el valor de 3,42
Mb. Obténgase un intervalo de confianza al 95 % para la media de la población.

OPCIÓN B
Ejercicio 1.(Calificación máxima: 2 puntos)
Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a :

= 2
 ax − 2y
3x − y − z = −1

x + 3y + z = 1
a) Discútase en función de los valores del parámetro a ∈ R.
b) Resuélvase para a = 1.
Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

 ex
si x < 0
Se considera la función real de variable real f (x) =
a + 3x
 2
si x ≥ 0.
x − 4x + 3
a)Estúdiese la continuidad de f en x = 0 para los distintos valores del parámetro a.
b) Determínense las asíntotas de la función.
Ejercicio 3. (Calificación máxima: 2 puntos)
Se considera la función real de variable real definida por f (x) = x(5 − x)2 .
a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
b) Determínense los intervalos de concavidad y convexidad de f.
Ejercicio 4.(Calificación máxima: 2 puntos)
Una tienda de trajes de caballero trabaja con tres sastres. Un 5 % de los clientes atendidos por el sastre A no
queda satisfecho, tampoco el 8 % de los atendidos por el sastre B ni el 10 % de los atendidos por el sastre C.
El 55 % de los arreglos se encargan al sastre A, el 30 % al B y el 15 % restante al C. Calcúlese la probabilidad
de que:
a) Un cliente no quede...