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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 3. Trigonometría

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA
1. Escribir las razones trigonométricas del ángulo de 3456º en función de las de un ángulo positivo
menor que 45º.
Solución
Al representar el ángulo de 3456º en la circunferenciaunidad, después de haber dado varias vueltas
completas a la circunferencia, su segundo lado corresponderá con el segundo lado de un ángulo
menor de 360º. Dicho ángulo es el resto obtenido al dividir 3456º entre 360º y el cociente es el
número de vueltas que se dan a la circunferencia.
Realizando la división se obtiene que 3456 = 9·360 + 216 y, por tanto, las razones trigonométricas
de 3456ºcoinciden con las de 216º.

Teniendo en cuenta lo anterior y que 216º-180º= 36º o lo que es lo mismo 216º = 180º + 36º se
tiene:
sen 3456º = sen 216º = -sen 36º
cos 3456º = cos 216º = -cos 36º
Por otra parte, tg 3456º = tg 216º =
2. Sabiendo que cos100º

sen 216º -sen 36º
=
= tg 36º
cos 216º -cos 36º

-0´17, calcular las razones trigonométricas de α = 200º y β = 50º.

Solución
Elángulo de 200º es el doble del ángulo de 100º, por tanto aplicando las fórmulas trigonométricas
del ángulo doble se tiene:
sen 200º = 2 sen100º cos100º
cos 200º = cos2100º - sen2100º
Para obtener estas razones trigonométricas hay que tener en cuenta que sen100º =
=

1 − (−0 17)2
´

0´9 7 1 1

0´9854. Por tanto,

sen 200º = 2 sen100º cos100º
2

2

1 − cos 100 =

2

cos 200º = cos100º - sen 100º

2 · 0´9854 (-0´17)

-0´3350

0´0289 - 0´9711 = -0´9422

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Unidad didáctica 3. Trigonometría

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

sen200º
cos 200º

Conocidos los valores del seno y del coseno se tiene tg 200º =

-0´3350-0´9422

-0´3556

El ángulo de 50º es la mitad del ángulo de 100º, por tanto aplicando las fórmulas trigonométricas
del ángulo mitad se tiene:
1 − cos100º
1 − (−0 17)
´
100º
=
=0
´585
0´7649
⏐sen50º⏐ = sen
2
2
2
⏐cos50º⏐ = cos

1 + cos100º
100º
=
2
2

1 − 0 17
´
=
2

0
´415

0´6442

Se acaban de obtener el valor absoluto del seno y del coseno, ahora es necesariodeterminar su
signo. Al estar el ángulo de 50º en el primer cuadrante todas sus razones trigonométricas son
positivas, por tanto:
sen50º
0´7649
sen50º 0´7649, cos50º 0´6442 y en consecuencia tg 50º =
1´1874
cos 50º
0´6442
3. Simplificar las siguientes expresiones:
a)

sen2α
tgα

b)

tg(π + α )
tg(π − α )

c)

sen2α (1 + cos α )
1 − cos α

cos α
tgα (1 - senα )

d)Solución
a)

sen2α
tgα

2 senα cos α
= 2 cos2 α
senα

=

cos α
tg(π + α )
tgα
b)
=
= -1
−tgα
tg(π − α )

c)

2

sen α (1 + cos α )
1 − cos α

=

2

(1 − cos α )(1 + cos α )
1 − cos α

=

(1 − cos α )(1 + cos α )(1 + cos α )
1 − cos α

= (1 + cos α )2 ⊗

En la primera igualdad se ha tenido en cuenta que sen2α = 1 − cos2 α y en la segunda se ha aplicado
queuna diferencia de cuadrados es igual a la suma por la diferencia.
d)

cos α

tgα (1 - senα )
=

1
senα

=

cos α

senα
(1 - senα )
cos α

=

cos2 α

senα (1 - senα )

=

1 - sen2α
senα (1 - senα )

=

(1 + senα )(1 - senα )
senα (1 - senα )

=

1 + senα
senα

=

+1

4. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) sen2x = senx

b)

2
3
=
senx cos2 xSolución
a) Sustituyendo en la ecuación inicial la expresión del seno del ángulo doble, sen2x = 2 senx cosx,
se obtiene la ecuación 2 senx cosx = senx.

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