Kathia

GEOMETRIA ANALITICA

Cap´
ıtulo 9

La Circunferencia
9.1.

Definici´n
o

Se llama circunferencia al lugar geom´trico de los puntos de un plano que equidise
tan de un punto fijo del mismo plano.
Dicho punto fijo se llama centro, a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se acostumbra a llamar radio.
Ecuaci´n
o
Sea C (a, b) las coordenadas del centro, r el radior > 0 y P (x, y ) un punto
cualquiera de la circunferencia.
Condici´n del L.G. de P (x, y )
o
CP = r
(x − a)2 + (y − b)2 = r

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

(1)

A esta ecuaci´n (1) se suele llamar ecuaci´n can´nica o standard de una circuno
o
o
ferencia de centro C (a, b) y radio r.

205

Luis Zegarra.

Secci´n 9
o

206

Notemos que de (1) desarrollando los cuadradosobtenemos
x2 + y 2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0

(2)

una ecuaci´n de 2o grado en que los coeficientes de x2 e y 2 son iguales y adem´s
o
a
iguales a 1, carece del t´rmino en xy . Por tanto la ecuaci´n en particular
e
o
x2 + 3xy + y 2 − 6x + 2y − 6 = 0
no representa a una circunferencia.
Vamos estudiar en el p´rrafo siguiente en forma mas general una ecuaci´n tal
a
o
como (2).

9.2.Forma general centro y radio

Dada la ecuaci´n general de 2o grado, por:
o
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

(3)

A, B, C, D, E y F par´metros reales
a
De la observaci´n anterior B = 0, A = C = 0, as´
o
ı
Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0
x2 + y 2 +

D
E
F
x+ y+
=0
A
A
A

completando cuadrados obtenemos:
x+

D
2A

2

+ y+

E
2A

2

=

D2 + E 2 − 4AF
4A2(4)

De la definici´n de circunferencia real (9.1-) se deduce que el centro tiene las
o
coordenadas
C−

D
E
,−
2A 2A

y al radio r2 =

D2 + E 2 − 4AF
4A2

esta ultima expresi´n para el radio nos impone que para (3) represente a una
´
o
circunferencia real
D2 + E 2 − 4AF > 0.

Luis Zegarra.

9.3.

Secci´n 9
o

207

Casos Notables

Un caso de gran importancia es elcaso de una circunferencia con centro en el
origen y radio r. De (1) se obtiene haciendo a = b = 0
x2 + y 2 = r2

(5)

Notemos tambi´n que en general una circunferencia tal como
e
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
necesita ex´ctamente de tres condiciones independientes para ser determinada.
a
Por comodidad en algunos casos conviene ocupar la ecuaci´n
o
x2 + y 2 + M x + N y + P = 0

(6)como representante de una circunferencia, note que se debe cumplir que M 2 +
N 2 − 4P > 0 (condici´n del radio).
o
En este caso el centro esta dado por
M
N
C − ,−
2
2

9.4.

√
M 2 + N 2 − 4P
y en radio por r =
2

Familias

Las circunferencias que son tangentes a los ejes coordenados, notemos por ejemplo
que forman una familia, es decir la tangencia implica que a = b o a = −b, enel
primer caso el centro se encuentra sobre la bisectriz del I y II cuadrantes y = x,
as´ su ecuaci´n estar´ dada por
ı
o
a
(x ± λ)2 + (y ± λ)2 = λ2 , a = b = r = ±λ = 0
λ par´metro real, para el 2o caso el centro pertenece a y = −x, as´ su ecuaci´n
a
ı
o
ser´:
a
(x ± λ)2 + (y λ)2 = λ2
Otro caso importante, es el de la familia de circunferencias que pasan por los
puntos deintersecci´n de dos circunferencias dadas.
o
Dadas las circunferencias C1 y C2

Luis Zegarra.

Secci´n 9
o

C1 : x2 + y 2 + M1 x + N1 y + P1 = 0,

M1 + N1 − 4P1 > 0

C2 : x2 + y 2 + M2 x + N2 y + P2 = 0,

208

M2 + N2 − 4P2 > 0

estamos en el supuesto que C1 ∩ C2 = {P1 , P2 } ⇐⇒ > 0 ” ” es el discriminante de ecuaci´n de 2o grado que se forma al efectuar la intersecci´n de C1 y C2 ,
oo
as´ la ecuaci´n de la familia de circunferencias que pasan por P1 y P2 est´ dada
ı
o
a
por
x2 + y 2 + M1 x + N1 y + P1 + λ(x2 + y 2 + M2 x + N2 y + P2 ) = 0
(7)
λ par´metro real λ = −1.
a
Esta ecuaci´n representa a todas las circunferencias por P1 y P2 con excepci´n,
o
o
en este caso de C2 .
Si λ = −1 se obtiene la ecuaci´n de la recta que pasa por P1 y P2 , llamada eje
o...