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ÁNGULOS

d) Ángulo Nulo: Es aquel que mide 0°.

A
Bisectriz

B

1. DEFINICIÓN

O

Es la unión de dos rayos que tienen el
mismo punto de origen o extremo. A estos
dos rayos se les denomina lados del ángulo
y su punto extremo común recibe el nombre
de vértice.
A

O



A

Región
angular

B
* Notación:  AOB, O.

2. ELEMENTOS

M




O

B

: Bisectriz delAOB

* OM

 = 0°

C



D
E



Del gráfico :

O

Se clasifican en:

5.1.1) Ángulo convexo.- Es aquel ángulo
que mide entre 0° y 180°.



O

5.1.2) Ángulo Llano.- Es aquel que mide
180°.

5. CLASIFICACIÓN DE LOS
ÁNGULOS
5.1.- DE ACUERDO CON SU MEDIDA
Pueden ser:



, ,  y  son ángulos consecutivos

 = 180°

Teoremas Fundamentales

5.1.3)Ángulo No Convexo.- Es aquel que
mide entre 180° Y 360°.

a).- Podemos tener ángulos consecutivos
alrededor de un punto; tales ángulos suman
360°.

0° <  < 180°
2.1).- Vértice, es el punto donde se unen los
dos lados. Se representa con letras
mayúsculas, el vértice del  AOB es (O).
2.2).- Lados, son los dos rayos que forman
el ángulo. Los rayos que forman el  AOB
son OA, OB

* Seclasifican en:
a) Ángulo Agudo: Es aquel que mide entre
0° y 90° .

4. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Se denomina bisectriz de un ángulo al rayo
cuyo origen es el vértice del ángulo y que
perteneciendo a su interior determina dos
ángulos de igual medida.
Por eso decimos que este rayo biseca al
ángulo.

 +  +  + = 360°









5.2.- DE ACUERDO A SU POSICIÓN.
Pueden ser:
0° <  <90°

3. MEDIDA DE UN ÁNGULO
*Postulado de la medida de un ángulo:
A cada ángulo le corresponde como medida,
un número real.
La medida de un ángulo se expresa
principalmente en grados sexagesimales y en
radianes. Para la medición exacta de un
ángulo se utiliza el transportador.
Medida del ángulo AOB : m  AOB.

180° <  < 360°




O
b) Ángulo Recto: Es aquel que mide 90° .5.2.1) Ángulos Opuestos por un Vértice.Son ángulos de igual medida, tales que los
lados de uno son las prolongaciones de los
lados del otro.
A

C
 = 90°









O


D

O
c) Ángulo Obtuso: Es aquel que mide entre
90° y 180 °.

Del gráfico:

90° <  < 180°

O



 +  +  = 180°

B

AOB y COD  Opuestos por el vértice.

=



b).- Tambiénpodemos tener ángulos
consecutivos a un lado de una recta, los
cuales suman 180°.

5.2.2) Ángulos Consecutivos.-Tienen el
mismo vértice y dos a dos un lado común.

c).- Dos ángulos consecutivos a un lado de
una recta se llaman Par Lineal.





-  y  son par lineal.

 +  = 180°

5.2.3) Ángulos Adyacentes.- Son los que
tienen el vértice y un lado en común, pero no
tienen puntosinteriores comunes.

6. PROPIEDADES
Si “x°” es la medida de un ángulo, donde:
a) Si:

A

0° < x°< 90°



x, si “n” es par

“n” veces



O

3
(S(X) – C(X))
2
3
180° - (90° - x) = (180° - x –(90° - x))
2
3
90° + x = (90°)
2

SC(X) =

CCC...CX =

M

CX, si “n” es impar

b) Si:

B

0° < x°< 180°

Se dice: AOM es adyacente al MOB.
5.3.- DE ACUERDO A LASUMA DE SUS
MEDIDAS.
Pueden ser:
5.3.1).- Ángulos Complementarios.- Son
dos ángulos cuya suma de sus medidas es
90°.Uno es el complemento del otro.

3).-Si el suplemento del complemento de un
ángulo es igual a los 3/2 de la diferencia
entre el suplemento y el complemento del
mismo ángulo. Calcula la medida del ángulo.
Solución:
Que sea “x” el ángulo.

90° + x = 135°
x = 45°SSS...SX =

x, si “n” es par

“n” veces

SX, si “n” es impar

PROBLEMAS RESUELTOS
1).-Halla “x”, si OB es bisectriz del ángulo
AOC.
C
B

4).-Calcula la medida del ángulo que forman
las bisectrices de los ángulos adyacentes
suplementarios.
SoluciónP
:
B
R

 +  = 90°


20°

4x°


Complemento de un Angulo x°: CX

A
Solución:
Se pide “x”
B



A
D

0

...