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Guía logaritmos y aplicaciones
Modelos Matemáticos

¿Qué es un Modelo Matemático?

Los modelos matemáticos tienen un papel muy importante en la resolución científica de problemas. Una discusión de modelos matemáticos puede empezar con una consideración del método científico. Kemeny y Snell, han definido el método científico sencillamente como “un proceso cíclico por el medio del cuallos seres humanos aprenden de la experiencia”.

Función Exponencial
Las funciones que involucran potencias de juegan un papel central en matemáticas aplicadas. Se usan en demografía para prever el tamaño de una población, en finanzas para calcular el valor de inversiones, en arqueología para fechar objetos antiguos, en psicología para estudiar fenómenos de aprendizaje, en salud pública paraanalizar la propagación de epidemias y en la industria para estimar la fiabilidad de productos.

Ejemplo:
Crecimiento exponencial: Una cantidad que crece de acuerdo a una ley de la forma , donde y son constantes positivas, se dice que la experimenta un crecimiento exponencial.
Los biólogos han determinado que, bajo condiciones ideales, el número de bacterias en un cultivo creceexponencialmente. Suponga que inicialmente están presentes en un cierto cultivo 2.000 bacterias y en 20 minutos después están presentes 6.000. ¿Cuántas estarán presentes al final de una hora?
Solución: Sea el número de bacterias presentes pasados minutos. Como el número de bacterias crece exponencialmente, y puesto que inicialmente estaban presentes 2.000 bacterias, se sabe que es una función de la forma:como pasados 20 minutos hay presentes 6.000 bacterias, se sigue que: o si ahora aplicamos logaritmo natural tenemos: por propiedades tenemos o .
Para hallar el número de bacterias presentes pasada una hora, calcule usando la ley de potencias para exponente como sigue:
bacterias pasada una hora.
Ejercicios:
1. Está previsto que dentro de años, la población de un cierto país será demillones.
a) ¿Cuál es la población inicial del país?
b) ¿Cuál será la población dentro de 30 años?

2. Se estima que la población de un cierto país crece exponencialmente. Si la población era de 60 millones en 1974 y de 90 millones en 1979, ¿Cuál será la población en 1989?.

3. Los siguientes datos fueron reunidos por un estudiante de medicina durante los primeros 10 minutos de un experimentodestinado a estudiar el crecimiento de bacterias.
Número de minutos
0
10
Número de bacterias
5.000
8.000

4. La densidad de la población a millas del centro de una cierta ciudad es de miles de personas por milla cuadrada.

a) ¿Cuál es la densidad de la población en el centro de la ciudad?
b) ¿Cuál es la densidad de la población a 10 millas del centro de la ciudad?
5. La cantidad quequeda de una muestra de una sustancia radiactiva después de años viene dada por la función de la forma . Al final de 5.000 años quedan 2.000 gramos de la sustancia. ¿Cuántos gramos había inicialmente?

6. Una bebida fría se saca del refrigerador en un cálido día de verano y se coloca en una habitación cuya temperatura es de 30º Celsius. De acuerdo con la ley física, la temperatura de la bebidaminutos después viene dada por la función de la forma . Si la temperatura de la bebida era de 10º Celsius cuando dejó el refrigerador y de 15º Celsius después de 20 minutos, ¿cuál será la temperatura de la bebida después de 40 minutos?
7. Se estima que dentro de años, la población de un cierto país será de millones.
a) ¿Cuál será la población actual?
b) ¿Cuál será la población dentro de 50 años?c) ¿Qué le sucederá a la población a la larga?
8. Un accidente de tráfico fue presenciado por la de los residentes de un pequeño pueblo. El número de residentes que habían oído hablar sobre el accidente horas después viene dado por la función de la forma , donde es la población del pueblo. Si de los residentes habían oído hablar sobre el accidente después de 2 horas, ¿cuánto tiempo hizo...