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DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
En el siguiente artículo se muestro la distribución geométrica, su desarrollo, la varianza, esperanza, su función característica y su función generadora de momentos.
Estadistribución sirve para calcular  la probabilidad de que ocurra un  éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento.
Función de densidad:
Sea A un suceso deprobabilidad P(A)=p, y sea X la variable aleatoria que expresa el numero de fracasos que tiene lugar en las repeticiones independientes de pruebas de Benouili, hasta que ocurre A por primera vez. Lavariable X toma los valores de 0,1,2,….(numero de fracasos). Decimos que una variable aleatoria X sigue una distribución geométrica de parámetros p si su función de probabilidad es

dónde :
P=probabilidad de éxito en cada ensayo
x= ensayos que sean necesarios para obtener un éxito, para x = 1, 2, 3,..

Lo anterior solo se cumple si y solo si:
º Las pruebas son  idénticas e independientes entresí.
º La probabilidad de éxito es p y se mantiene constante de prueba en prueba
Función de distribución

La función de densidad de la variable aleatoria geométrica sólo depende del parámetro p, ypresenta siempre una asimetría a la derecha como se puede observar en las siguientes funciones de densidad.


Función Generadora de Momentos

Demostración

Esperanza
 
DemostraciónVarianza

Demostración


Por tanto


Función característica
La función característica se calcula teniendo en cuenta que de nuevo aparece la sumación de los términos de una progresión geométrica,pero esta vez de razón eit q:

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA
En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sinreemplazo. La distribución hipergeométrica considera el caso en el cual una población finita se divide en dos grupos, uno de los cuales se considera "éxitos" y el otro "Fracasos”. La distribución...