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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE MEZCLAS
Considérese un tanque que tiene un volumen inicial V0 de solución (una mezcla de
soluto y solvente). Hay un flujo tanto de entrada como de salida y se quiere calcular la
cantidad de soluto x(t) que hay en el tanque en cualquier instante de tiempo t, en función de
la cantidad inicial desoluto x0 al tiempo de iniciar el proceso de mezclado.

C1 = Concentración
de entrada
Q1 = razón de entrada

Vo = Volumen Inicial
C0 = Concentración
inicial
x0 = Cantidad inicial
de soluto

C2 (t) = Concentración de salida
(varía en función de t)
Q1 = razón de salida

Supóngase que la solución que se inyecta al tanque tiene una concentración de C1
gramos de soluto por litro, y fluye almismo con una tasa de Q1 litros por segundo, en tanto
que la sustancia contenida en el tanque se mantiene bien mezclada por agitación y fluye
hacia fuera de este a una tasa de Q2 litros por segundo.
OBSERVACIÓN:
Es importante que quede claro que la cantidad de soluto en el tanque, una vez
iniciado el proceso, va a variar en la medida en que transcurre el tiempo; es decir, la
concentraciónde sal en el tanque es una función del tiempo.

Sea x(t) la cantidad de soluto en el tanque en un instante de tiempo t. La cantidad de
soluto que fluye hacia el tanque durante ∆t segundos es (Q1 C1 ∆t) gramos. La cantidad de
soluto que fluye hacia fuera del tanque durante el mismo intervalo de tiempo, depende de la
concentración de soluto C2(t) en el tanque al instante t.

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Laconcentración de soluto en el tanque en cualquier instante de tiempo t,
x (t)
viene dada por la ecuación: C2 (t) =
, donde x(t) es la cantidad de soluto en
V (t)
cualquier instante de tiempo t y V(t) denota volumen de líquido en el tanque en
cualquier instante de tiempo t.
Si la tasa de entrada de líquido al tanque es igual a la tasa de salida de líquido del
tanque (Q1 = Q2) entonces el volumen encualquier instante de tiempo t es el mismo, es
decir, el volumen se mantiene constante (V(t) = V0 , con V0 volumen inicial).
Si la tasa de entrada de líquido al tanque es mayor a la tasa de salida de líquido del
tanque (Q1 > Q2) entonces el volumen en cualquier instante de tiempo t es mayor que el
volumen inicial V0 (V(t) > V0).
Si la tasa de entrada de líquido al tanque es menor a la tasa desalida de líquido del
tanque (Q1 < Q2) entonces el volumen en cualquier instante de tiempo t es menor que el
volumen inicial V0 (V(t) < V0).
El volumen de líquido en el tanque, en cualquier instante de tiempo t, viene
dado por la ecuación
V(t) = V0 + (Q1 – Q2) t
Por otra parte, la variación de la cantidad de soluto en un instante t, es igual a la
diferencia entre la cantidad de líquido quefluye hacia el tanque (Q1 C1 ∆t) y la cantidad de
líquido que fluye fuera del tanque (Q2 C2 ∆t):
∆x = ( gramos que ingresan) - (gramos que salen)
= (Q1 C1 ∆t) - (Q2 C2 ∆t)
= (Q1 C1 - Q2 C2) ∆t
ya que ∆t ≠ 0, dividiendo entre ∆t
∆x
= (Q1 C1 - Q2 C2)
∆t
calculando el límite de cuando ∆t → 0
∆x
= (Q1 C1 − Q2 C2 )
∆t → 0 ∆ t
lim

(1)

Por la definición de derivada,

∆x
dx
=
dt∆t → 0 ∆ t
lim

Comparando las ecuaciones (1) y (2)
dx
= Q1 C1 - Q2 C2
dt
donde Q1, C1 y Q2 son constantes

(2)

(3)

232

Sustituyendo en la ecuación (3) C2(t) =

x (t )
x (t)
=
V (t )
V0 + (Q1 − Q2 ) t

⎡
⎤
x (t)
dx
= Q1 C1 + Q2 ⎢
⎥
dt
⎣ V0 + (Q1 − Q2 ) t ⎦
ecuación ésta, que puede escribirse
dx
Q2
+
x(t) = Q1 C1
dt
V0 + (Q1 − Q2 ) t
La ecuación diferencialasociada a problemas de mezclas es la ecuación
diferencial lineal
Q2
dx
+
x(t) = Q1 C1
dt
V0 + (Q1 − Q2 ) t
Al resolver esta ecuación, sujeta a la condición x(0) = x0 , se obtendrá la ley de
variación de la cantidad de soluto x(t) en un instante de tiempo t

UNIDADES Y NOTACIONES
Elemento
Volumen
Soluto
Tiempo
Caudal de Entrada
Caudal de Salida
Concentración de Entrada...