Lógica matemática

DISYUNCIÓN, OR, SUMA LÓGICA

|P |Q |P V Q |
|V |V |V |
|V |F |V |
|F |V |V |
|F |F |F |

Sentencia denotada por p V q, que es verdadera si una de ellas es verdadera y falsa si ambas los son.

CONJUNCIÓN, AND, PRODUCTO LÓGICO

|P |Q |P Ʌ Q |
|V |V |V |
|V |F |F|
|F |V |F |
|F |F |F |

Sentencia denotada por p Ʌ q, que es verdadera si ambas son verdaderas, y falsa si una de ellas es falsa.

CONDICIONAL

|P |Q |P → Q |
|V |V |V |
|V |F |F |
|F |V |V |
|F |F |V |

Sentencia denotada por p→q, que se lee si p entonces q, ó pes condición suficiente para q, ó q es condición necesaria para p.

BICONDICIONAL

|P |Q |P ↔ Q |
|V |V |V |
|V |F |F |
|F |V |F |
|F |F |V |

Sentencia denotada por p ↔q, que es verdadera si p y q son verdaderas, o p y q son falsas, siendo falsa en sentido contrario. Se lee p si y sólo si q, ó p esequivalente a q, ó p es condición necesaria y suficiente para q. El valor de la sentencia p↔q es el mismo que el de (p→q) Ʌ (q→p).

ORDEN JERÁRQUICO

1. Negaciones( ¬)
2. Disyunciones (V) y conjunciones (Ʌ)
3. Condicionales (→), para un mismo grado éstas se evalúan de izda a drcha. En los paréntesis primero los más internos a los más externos.
4. Bicondicionales (↔).PROPOSICIÓN
Una sentencia genérica es considerada como una proposición. Las proposiciones se denotan P(p,q,r,…),siendo p, q, r, … las sentenicias genéricas consideradas como variables o indeterminadas.

Las proposiciones tienen tabla de verdad.

Las sentencias tienen valor de verdad

TAUTOLOGÍAS
Todas las sentencias obtenidas son siempre ciertas.

CONTRADICCIÓN

Si todas las sentencias sonsiempre falsas.

LEYES DE SUSTITUCIÓN

Si P(p,q,r,…), Q(p,q,r,…), R(p,q,r,…) son proposiciones cualesquiera, y T(p,q,r,…) es una tautología, entonces la proposición T(P(p,q,r,…), Q(p,q,r,…), R(p,q,r,…), …) es también tautología. Este resultado se conoce como Ley de Sustitución de Tautologías.

Si P(p,q,r,…), Q(p,q,r,…), R(p,q,r,…) son proposiciones cualesquiera, y C(p,q,r,…) es unacontradicción, entonces la proposición C(P(p,q,r,…), Q(p,q,r,…), R(p,q,r,…), …) es también una contradicción. Este resultado se conoce como Ley de Sustitución de Contradicciones.

EQUIVALENCIA LÓGICA

Si P y Q son equivalentes ó iguales denotándose P≡Q, si P y Q tienen la misma tabla de verdad.

Por tanto, P y Q son equivalentes si P↔Q es una tautología. La equivalencia P≡Q se denota también por P Q.PROPIEDADES FUNDAMENTALES

1. ¬(¬P)≡P

2. ¬T≡C

3. ¬C≡T

Sea C una contradicción y T una tautología, para ∀ P,Q y R, se cumplen las siguientes:
1.
1. P V C≡P
2. P V T≡T
3. P V P≡P
4. P V Q≡Q V P
5. (P V Q) V R≡P V (Q V R)
6. P V ¬P≡T

1. P Ʌ C≡C
2. P Ʌ T≡P
3. P Ʌ P≡P
4. P Ʌ Q≡Q Ʌ P
5. (P Ʌ Q) ɅR≡P Ʌ (Q Ʌ R)
6. P Ʌ ¬P≡CPara ∀ proposiciones P, Q, y R:

1. P V (PɅQ)≡P
2. PɅ(PVQ)≡P
3. PV(QɅR)≡(PVQ)Ʌ(PVR)
4. PɅ(QVR)≡(PɅQ)V (PɅR)
5. ¬(PVQ)≡¬PɅ¬Q
6. ¬(PɅQ)≡¬PV¬Q
7. P→Q≡¬PVQ
8. P→Q≡¬Q→¬P
9. P→Q≡PVQ↔Q
10. P→Q≡ PɅQ↔P

IMPLICACIÓN LÓGICA

P implica a Q, P ⇒Q, si P→Q es una tautología.
Es decir, P≡Q (ó P ⇔Q) se traduce en que P⇒Q y Q⇒P. cuando P es verdad, Q también es verdad.RAZONAMIENTO LÓGICO

Afirmamos que cuando P1,P2.... Pn es verdadera también Q es verdadera
Esta sentencia puede ser:
a ) Verdadera, en cuyo caso el razonamiento es verdadero, válido o correcto, lo representaremos por P1 ɅP2Ʌ ..Ʌ.Pn→ Q y significará que P1 ɅP2 ...ɅPn⇒ Q es tautología o lo que es igual:
Cuando P1ɅP2Ʌ ...ɅPn verdadera ( P1, P2 ,..., Pn todas verdaderas ) Q también será...