La Braquistocrona

Profesor: Luis Ramón Siero González


Marco teórico
La braquistócrona fue encontrada a fines del Siglo XVII y su historia es muy interesante, ya que involucró a los más grandes matemáticos de esa época
En el Cálculo Variacional se estudian los métodos que permiten hallar los valores máximos y mínimos de los funciones. Los problemas en que se exige investigar el máximo o el mínimo de unafunción, se denominan problemas variacionales.
Uno de estos problemas intenta describir las líneas de deslizamiento más rápido, o “braquistócrona”. Este problema se llama “La Braquistócrona” (del griego brachistos, el más breve, y cronos, tiempo, Johann Bernoulli (1696)) y en él, se exige determinar la línea que une dos puntos dados A y B, que no pertenecen a una misma recta vertical, que posea lapropiedad de que un objeto (o punto material) se deslice por dicha línea desde el punto A hasta el B en el menor tiempo posible.














Índice

Introducción…………………….………………………………………………página.3
Objetivo…………….……………………………………………………………página.3
Desarrollo………..……………………………………………………………...página.3

Demostración…………………………………………………………………..página.3

Lacicloide.………..…………………………………………………………….página.6

Aplicaciones.………..………………………………………………………….página.7

Conclusiones….…...…………………………………………………….……..página 7

Referencias………...…………………………………………………….……..página 8













Introducción:
En el presente texto se explicará cómo por medio del cálculo multivariable, en este texto mencionado como cálculo variacional, se puede obtener una curva cicloide, conocida como braquistócrona, la cual involucramucho cálculo en su aplicación.
Esta aplicación del cálculo variacional (multivariable) en lo que es la vida práctica se puede observar en ciertas partes y ayuda a comprender el origen de ciertas fórmulas más sencillas y fáciles de aplicar estos conocimientos antes estudiados.
Objetivo:
Demostrar el uso del cálculo multivariable, su utilización con respecto a aplicaciones útiles en el usopráctico, doméstico, comercial, etc.

Desarrollo de la braquistócrona
Aunque el mismo Bernoulli dio una solución en 1697, fue Newton quien la clasificó como una cicloide, es decir, el lugar geométrico descrito por un punto de una circunferencia cuando ésta rueda por una línea recta sin deslizar. El desafortunado Bernoulli lanzó el reto para intentar ridiculizar a Newton, que ya por aquella época sededicaba a trabajos burocráticos. Bernoulli estaba de parte de Leibniz y pensó que Newton no podría hacer un correcto uso del necesario cálculo diferencial para resolver el problema. Pero sí consiguió resolverlo, y Bernoulli dejó para la historia la frase "Es fácil reconocer al león por sus garras".
Función y demostración de la braquistócrona.
Dados dos puntos A y B, con A a una elevación mayorque B, existe solo una curva cicloide con la concavidad hacia arriba que pasa por A con pendiente infinita (dirección vertical y sentido de arriba hacia abajo), también pasa por B y no posee puntos máximos entre A y B. Esta particular cicloide invertida es una curva braquistócrona. La curva no depende de la masa del cuerpo o del valor de la constante gravitacional.
El problema puede ser resueltoutilizando los algoritmos del cálculo variacional.
Si al cuerpo se le da una velocidad inicial en A, o si se toma en cuenta el efecto de la fricción, la curva que minimiza el tiempo de tránsito será distinta de la descrita en los párrafos precedentes.
La conservación de la energía requiere que la velocidad vertical de un cuerpo en un campo gravitatorio uniforme venga dada por:Donde y representa la altura vertical desde la que ha caído el cuerpo. Por otra parte el espacio recorrido viene dado por:

De la ecuación diferencial que da la velocidad se sigue que el tiempo entre los puntos a y b viene dado por:

Como la curva que hace mínimo el funcional anterior satisface las ecuaciones de Euler-LaGrange, se tiene:

Como la función f no depende...