Curva Braquistócrona
Páginas: 3 (658 palabras)
Publicado: 7 de septiembre de 2014
Un curva braquistócrona (gr. βραχίστος brachistos 'el más corto', χρόνος chronos '[intervalo de] tiempo'), o curva del descenso más rápido, es la curva entre dos puntos que es recorrida en menortiempo, por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante ysuponiendo que no existe fricción. En la solución del problema intervinieron: Johann y Jacobo Bernoulli, Leibniz, L'Hôpital, Newton, Tschirnhaus, entre otros.1
En 1696, Jakob Bernoulli y JohannBernoulli resolvieron el problema de la braquistócrona, el primer resultado en el cálculo de variaciones.
Dados dos puntos A y B, con A a una elevación mayor que B, existe solo una curva cicloide con laconcavidad hacia arriba que pasa por A con pendiente infinita (dirección vertical y sentido de arriba hacia abajo), también pasa por B y no posee puntos máximos entre A y B. Esta particular cicloideinvertida es una curva braquistócrona. la curva no depende de la masa del cuerpo o del valor de la constante gravitacional.
El problema puede ser resuelto utilizando los algoritmos del cálculovariacional.
Si al cuerpo se le da una velocidad inicial en A, o si se toma en cuenta el efecto de la fricción, la curva que minimiza el tiempo de tránsito será distinta de la descrita en los párrafosprecedentes.
Demostración[editar]
La conservación de la energía requiere que la velocidad vertical de un cuerpo en un campo gravitatorio uniforme venga dada por:
\frac{1}{2}mv^2 = mgy \rightarrowv = \sqrt{2gy}
donde y representa la altura vertical desde la que ha caído el cuerpo. Por otra parte el espacio recorrido viene dado por:
s= \int_{x_a}^{x_b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\ dx
De la ecuación diferencial que da la velocidad se sigue que el tiempo entre los puntos a y b viene dado por:
\begin{cases} \displaystyle \Delta t= \mathcal{T}[y(x)]= \int_{s_a}^{s_b}...
En 1696, Jakob Bernoulli y JohannBernoulli resolvieron el problema de la braquistócrona, el primer resultado en el cálculo de variaciones.
Dados dos puntos A y B, con A a una elevación mayor que B, existe solo una curva cicloide con laconcavidad hacia arriba que pasa por A con pendiente infinita (dirección vertical y sentido de arriba hacia abajo), también pasa por B y no posee puntos máximos entre A y B. Esta particular cicloideinvertida es una curva braquistócrona. la curva no depende de la masa del cuerpo o del valor de la constante gravitacional.
El problema puede ser resuelto utilizando los algoritmos del cálculovariacional.
Si al cuerpo se le da una velocidad inicial en A, o si se toma en cuenta el efecto de la fricción, la curva que minimiza el tiempo de tránsito será distinta de la descrita en los párrafosprecedentes.
Demostración[editar]
La conservación de la energía requiere que la velocidad vertical de un cuerpo en un campo gravitatorio uniforme venga dada por:
\frac{1}{2}mv^2 = mgy \rightarrowv = \sqrt{2gy}
donde y representa la altura vertical desde la que ha caído el cuerpo. Por otra parte el espacio recorrido viene dado por:
s= \int_{x_a}^{x_b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\ dx
De la ecuación diferencial que da la velocidad se sigue que el tiempo entre los puntos a y b viene dado por:
\begin{cases} \displaystyle \Delta t= \mathcal{T}[y(x)]= \int_{s_a}^{s_b}...
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