La Constante Matem Tica Pi

La constante matemática pi (3.14159...), ese misterioso número que en el colegio se nos aparece hasta en la sopa, describe la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

los egipcios y mesopotámicos habían dado valores de 25 / 8 = 3,125 y de √10 = 3,162
Entre los primeros efectos de este redespertar fue la aparición de fórmulas matemáticas para π. Una de las primeras fue la deWallis (1616-1703): 2 / π = (1.3.3.5.5.7. ...) / (2.2.4.4.6.6. ...) y una de las más conocidas es: π / 4 = 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + ... Esta fórmula se le atribuye en muchos casos a Leibniz (1646-1716) pero parece que fue descubierta en primer lugar por James Gregory (1638- 1675). Estas son dos espectaculares y asombrosas fórmulas, ya que las expresiones de la derecha son de caráctercompletamente aritmético, mientras p emerge en primera instancia de la geometría. Demostraron los sorprendentes resultados que los procesos infinitos pueden lograr y muestran el camino a la maravillosa riqueza de la matemática moderna. Desde el punto de vista del cálculo de p, sin embargo, no tenía ningún uso.
En las series de Gregory, por ejemplo, para obtener un resultado con 4 posiciones decimalescorrectas se requiere que el error sea menor que 0,00005 = 1 / 20 000, y para esto necesitamos unos 10 000 términos de la serie. Sin embargo, Gregory también demostró el resultado más general
tan-1 x = x - x3 / 3 + x5 / 5 - ... (-1 ≤ x ≤ 1) . . . (3)
a partir del cual obtenemos la primera serie si tomamos x = 1. Por lo que usando el hecho de que tan-1( 1 / √3 ) = π / 6 tenemos que
π / 6 = ( 1 / √3)( 1 - 1 / (3.3) + 1 / (5.3.3) - 1 / (7.3.3.3) + ...
la cual converge mucho más rápidamente. El décimo término es 1 / (19 x 39√3), lo cual es menos que 0,00005, y por tanto al menos 4 decimales correctos tras solo 9 términos. Una idea incluso mejor es tomar la fórmula:
π / 4 = tan-1( 1 / 2 ) + tan-1( 1 / 3 ) . . . (4)
Y entonces resultan las dos series obtenidas poniendo primero 1 / 2 y 1 / 3dentro de (3). Claramente tendremos una convergencia muy rápida, en efecto, si podemos encontrar una fórmula similar a esta:
π / 4 = tan-1( 1 / a ) + tan-1( 1 / b )
con a y b grandes. En 1706 Machin encontró tal fórmula:
π / 4 = 4 tan-1( 1 / 5 ) - tan-1( 1 / 239 ) . . . (5)
En realidad esto no es difícil de probar, si sabes cómo demostrar (4) entonces no hay ninguna dificultad extra en (5), exceptoque la aritmética es más compleja. Imaginar esto en primer lugar, por supuesto, es un tema bastante distinto. Con una fórmula como esta disponible, la única dificultad en calcular p es superar el aburrimiento del cálculo continuo. Ni que decir tiene que algunas personas fueron lo bastante estúpidas como para dedicar ingentes cantidades de tiempo y esfuerzo en este tedioso y completamente inútilpasatiempo. Uno de ellos, un inglés llamado Shanks, usó la fórmula de Machin para calcular 707 lugares de π, publicando los resultados de muchos años de trabajo en 1873. Shanks ha conseguido la inmortalidad por una razón muy curiosa que explicaremos en un momento. Aquí tenemos un resumen de cómo se produjeron las mejoras:
1699: Sharp usó el cálculo de Gregory para obtener 71 dígitos correctos
1701:Machin usó una mejora para obtener 100 dígitos. Los siguientes usaron sus métodos
1719: de Lagny encontró 112 dígitos correctos
1789: Vega obtuvo 126 lugares y en 1794 obtuvo 136
1841: Rutherford calculó 152 dígitos y en 1853 obtuvo 440
1873: Shanks calculó 707 posiciones, de las cuales 527 eran correctas

Decimales de pi
PI - con 16000 decimales.

Pi = 3.
1415926535 8979323846 26433832795028841971 6939937510 : 50
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 : 100
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 : 150
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 : 200
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 : 250
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 : 300
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 : 350
7892590360...