LA DERIVADA COMO UN LÍMITE

LA DERIVADA COMO UN LÍMITE











LEONARDO DAVID BRAVO URUETA
MARCELA PAOLA CAMACHO NIETO
KATHERINE LOLAIN LORA GARIZABALO
HUMBERTO ENRIQUE MAURY MAURY
RAFAEL DE JESUS ROBAYO BERRIO







TRABAJO DE CÁLCULO PRESENTADO AL PROFESOR:
WILMAN OROZCO











CORPORACION UNIVERSITARIA DE LA COSTA, CUC.
FACULTAD DE INGENIERÍA
PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL – INDUSTRIAL - SISTEMAS
BARRANQUILLA2008
INTRODUCCIÓN

En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.

La noción de derivada es históricamente anterior al concepto delímite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.

La derivada de una función en un punto surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa, En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estascondiciones, se buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales.

Definida de manera informal, la derivada de una función en un punto es el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto. A continuación se presentan casosresueltos en los que el límite juega un papel importante al momento de la derivación de una función, hallar la pendiente de una recta tangente que pasa por un punto dado, y al momento de deducir la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función

1. OBJETIVOS

1.1 OBJETIVO GENERAL

Estudiar el proceso de derivada de una función por medio del proceso de límite.


1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOSEstablecer concepto de la derivada como un límite.
Analizar la derivada teniendo en cuenta el proceso con el límite.
Aplicar satisfactoriamente las propiedades de los límites en los ejercicios planteados para hallar la derivada de una función y así, saber la pendiente de la grafica en un punto.
Encontrar ecuaciones de rectas tangentes por medio de la derivada.
2 DEFINICIÓN DE DERIVADA COMO UN LÍMITEEn terminología algo anticuada, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad "y" cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad "x" con la que tiene una relación funcional. Usando el símbolo "" para referirse a tal cambio, se define tal coeficiente como el límite del cociente



cuando Δx tiende (o se aproxima) a cero.

En la notación de Leibniz, se escribe la derivada de ycon respecto a x como sigue:



Esta notación depende del nombre de la función y su variable. En este caso, la función se llama "y", y la variable "x", como generalmente se designa. Esta notación sugiere la razón de dos cantidades infinitesimales.

En lenguaje matemático contemporáneo, la derivada se calcula con respecto a cantidades dependientes de una o varias variables y postula que ladiferenciación es una operación matemática de carácter especial entre funciones. Se puede definir la derivada de una función en un punto del dominio en dos formas equivalentes:

1.- Definición geométrica: es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto específico de ella.

2.- Definición física: es la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado en un punto único del trayecto.La definición geométrica de derivada parte del cociente de diferencias que calcula la pendiente "m" de una recta a partir de dos de sus puntos:



La expresión corresponde a la variación de . Es decir:
Esta es , ya que se expresa en el eje y. La variación en el eje x corresponde a .

Hasta ahora se ha definido la pendiente de una recta secante. Luego, a Δx del cociente anterior se la hace...