La Ecuación Cuadrática
Páginas: 7 (1505 palabras)
Publicado: 5 de mayo de 2013
La ecuación cuadrática.
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x. Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación.
Si en laecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación cuadrática (llamadas también ecuaciones de segundo grado), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá quesustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular. Además, a y b son los son los coeficientes de los términos x2 y x respectivamente, y c es el término independiente.
Término Cuadrático Termino lineal Término independiente
Ax2 + Bx + C = 0
Si la ecuación tiene todos los términos (Ax2 + Bx + C = 0) se dice Completa, en cambio, si a la ecuación le falta eltérmino lineal (Ax2 + C = 0) o el término independiente (Ax2 + Bx = 0) la ecuación es incompleta.
Solución de ecuaciones cuadráticas.
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:
1. Solución por factorización.
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundogrado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos,es igual a cero.
Por ejemplo si tenemos la ecuación 2x2+5x–12=0, lo podríamos resolver factorizando:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora, podemos igualar cada término del producto a cero para resolver las incógnitas:
2x − 3 = 0
2x = 3
X = 3/2
x + 4 = 0
x = −4
Esta ecuación pudo presentarse de diferentes maneras, pero en todos los casos la soluciones serian las mismas: x=-4 y x=3/2.
2.Solución por Completación de cuadrados.
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo (ax + b)2 = n, en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio, Partiendo de unaecuación del tipo x2 + bx + c = 0.
Por ejemplo, si tenemos la ecuación x2 + 8x − 48 = 0, al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo (ax + b)2.
Con lo anterior, nuestro ejemplo quedaría: x2 + 8x = 48
El 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2,que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio (a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos:
x2 + 8x = 48 / sumamos 16 a ambos lados de la ecuación.
x2 + 8x + 16 = 48 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
(x + 4) (x + 4) = 64
(x + 4)2 = 64 / extraemos la raíz cuadrada √
De loanterior obtenemos que x + 4 = ± 8, entonces:
x + 4 = 8
x = 4
x + 4 = -8
x = -12
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.
3. Solución por fórmula general.
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:
La fórmula...
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x. Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación.
Si en laecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación cuadrática (llamadas también ecuaciones de segundo grado), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá quesustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular. Además, a y b son los son los coeficientes de los términos x2 y x respectivamente, y c es el término independiente.
Término Cuadrático Termino lineal Término independiente
Ax2 + Bx + C = 0
Si la ecuación tiene todos los términos (Ax2 + Bx + C = 0) se dice Completa, en cambio, si a la ecuación le falta eltérmino lineal (Ax2 + C = 0) o el término independiente (Ax2 + Bx = 0) la ecuación es incompleta.
Solución de ecuaciones cuadráticas.
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:
1. Solución por factorización.
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundogrado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos,es igual a cero.
Por ejemplo si tenemos la ecuación 2x2+5x–12=0, lo podríamos resolver factorizando:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora, podemos igualar cada término del producto a cero para resolver las incógnitas:
2x − 3 = 0
2x = 3
X = 3/2
x + 4 = 0
x = −4
Esta ecuación pudo presentarse de diferentes maneras, pero en todos los casos la soluciones serian las mismas: x=-4 y x=3/2.
2.Solución por Completación de cuadrados.
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo (ax + b)2 = n, en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio, Partiendo de unaecuación del tipo x2 + bx + c = 0.
Por ejemplo, si tenemos la ecuación x2 + 8x − 48 = 0, al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo (ax + b)2.
Con lo anterior, nuestro ejemplo quedaría: x2 + 8x = 48
El 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2,que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio (a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos:
x2 + 8x = 48 / sumamos 16 a ambos lados de la ecuación.
x2 + 8x + 16 = 48 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
(x + 4) (x + 4) = 64
(x + 4)2 = 64 / extraemos la raíz cuadrada √
De loanterior obtenemos que x + 4 = ± 8, entonces:
x + 4 = 8
x = 4
x + 4 = -8
x = -12
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.
3. Solución por fórmula general.
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:
La fórmula...
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