La ergodicidad

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La Ergodicidad
El objetivo de los padres de la mecánica estadística fue expresar el comportamiento del mundo en términos de átomos y moléculas. Completamente separados de Poincare, Boltzmann y Gibbs inventaron un camino elegante de subrayar la diferencia entre un sistema simple con comportamiento predecible y uno complejo más típico de los enormes números de moléculas que forman los objetos decada día.
Para visualizar el comportamiento de los incontables millones de moléculas, lo describieron en un espacio de fases, una manera pictórica que juega un papel central en todos los debates técnicos del tema. Los retratos del comportamiento en el espacio de fases pueden ser extremadamente informativos, revelando los movimientos subyacentes con la misma seguridad con la que las pinceladasidentifican a un artista. También pueden ayudar a revelar la flecha del tiempo.
Como ejemplo describiremos la conducta de las moléculas en una gas. Los millones de moléculas están chocando entre si constantemente y también lo hacen contra las paredes de su contenedor. Con cada choque, las coordenadas del espacio de las fases del gas sufren cambios rápidos y sustanciales. Boltzmann y Gibbs razonaronque, dado un numero suficientemente grande de moléculas y un tiempo suficiente, se exploraría toda la tela del espacio de las fases. Intuitivamente parecía razonable esperar que una sola molécula explorase todo el contenedor con el paso del tiempo. Denominaron a este comportamiento como una propiedad de los sistemas ergódicos.
En 1962, se registro la aportación extraordinaria de Sinai. Ésteanunció que había demostrado que una caja que contenga dos o más bolas de billar descritas por las ecuaciones de Newton tienen la propiedad de mezcla característica de los sistemas ergódicos.
El determinismo a machacamartillo debe ceder el paso a las tesis probabilísticas en esos flujos de mezclas. Ello significa que hemos de abandonar desde el principio las trayectorias deterministas y trabajar, encambio, con las probabilidades, precisamente la clase de descripción utilizada en la mecánica estadística |
Partiendo del enfoque probabilista en vez del de las ecuaciones deterministas del movimiento newtoniano, cabe buscar legítimamente alguna magnitud del tipo de la entropía que aumente con el tiempo según la segunda ley de la termodinámica. En un importante trabajo publicado en 1978, BaidyanathMisra mostró que cabe construir una tal entropía para los flujos-K. Como hemos visto, los flujos-K comprenden las bolas de billar y los gases ideales y se cree que está muy extendidos en la naturaleza, particularmente en los sistemas macroscópicos. Tal como la entropía termodinámica, la entropía de Misra adopta su valor máximo en el equilibrio, cuando se detiene toda evolución de la distribuciónde probabilidad.

Ergodicidad y Entropía en un conjunto de osciladores
Consideremos un conjunto de osciladores independientes de frecuencias , , definidas por las variables ángulo , que evolucionan de la forma . El estado del sistema se puede representar por puntos sobre la circunferencia de radio unidad.
Como es lógico, la evolución de estos osciladores viene dado en buena medida por laelección de las frecuencias y de las fases iniciales .
Se puede demostrar que si las frecuencias son inconmensurables, esto es, si es irracional para todo , entonces el sistema es ergódico y su distribución de probabilidad microcanónica es por tanto:

que no es más que el volumen del toro dimensional donde se mueven las variables .
Dividamos ahora la circunferencia en sectores, definiendo elconjunto como la fracción de osciladores en el sector -ésimo, que en el lenguaje de Física Estadística no es más que un macroestado. Se puede comprobar que la entropía de dicho macroestado es:
| (1) |

válida sin , y .
La entropía máxima (que corresponde a la situación de equilibrio), corresponde a para todo , que conduce a

La Física Estadística nos dice que si el sistema es ergódico...
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