La Literatura

MATEMÁTICA MÓDULO 2 Eje temático: álgebra y funciones
1. LENGUAJE ALGEBRAICO 1.1. Simplificación de fracciones algebraicas Si tenemos la fracción

15 , la puedes simplificar por 3, ya que tanto el 18

numerador 15 como el denominador 18 tienen como divisor común este número:

15 5 ⋅ 3 5 = = 18 6 ⋅ 3 6
Esto que ocurre con las fracciones numéricas, también ocurre con las fraccionesalgebraicas, por ejemplo, si queremos simplificar la fracción:

x2 − 2x , debemos buscar previamente un divisor común del numerador y del x2 − 4
denominador. Para ello debes factorizar previamente ambos términos:

x2 − 2x x(x − 2) = 2 x −4 (x + 2)(x − 2)
El divisor común es (x-2), si simplificamos por él, obtenemos la fracción reducida:

x (x − 2) (x + 2)(x − 2)

=

x x+2

Para podersimplificar hay que factorizar previamente, por lo tanto, debes dominar bien todos los casos de factorización; si no los dominas te recomendamos visitar el eje temático de Álgebra y funciones del módulo anterior (1° medio). Si queremos simplificar fracciones de la forma:

(2x2y3 )2 , debemos ocupar las 16x3y8

propiedades de potencias, que repasaremos a continuación:

1.2. Potencias de base real yexponente entero Definición:

a0 = 1 (a ≠ 0) 1 a−1 = (a ≠ 0) a 1 a-n = n (a ≠ 0) a
Propiedades:

1) an ⋅ am = am +n 2) an ÷ am = am −n 3) an ⋅ bn = (a ⋅ b)n an ⎛ a⎞ =⎜ ⎟ n b ⎝b⎠ n 5) (a ⋅ b) = an ⋅ bn 4) an ⎛ a⎞ 6) ⎜ ⎟ = n b ⎝b⎠ 7) (am )n = am⋅n
n n

(multiplicación de potencias de igual base) (división de potencias de igual base) (multiplicación de potencias de igual exponente) (divisiónde potencias de igual exponente) (potencia de un producto) (potencia de un cuociente) (potencia de potencia)

Ocupando estas propiedades podemos volver ahora al ejemplo que dejamos pendiente: Simplificar la fracción:

(2x2y3 )2 16x3y8
En el numerador ocupamos las propiedades 5 y 7: (2x2y3)2 = 4x4y6, por lo tanto la fracción se transforma en:

4x 4y6 16x3y8

Ocupando ahora la propiedad 2y simplificando por 4, obtenemos:

4x 4y6 x = 3 8 16x y 4y2

2

1.3. Operatoria con fracciones algebraicas. Si queremos efectuar la operación m.c.m. de los denominadores: m.c.m. (2,5) = 10; enseguida calculamos cuántas veces cabe 2 en 10 y el resultado lo multiplicamos por el numerador 1, y lo mismo hacemos con el denominador 5:

1 3 + debemos buscar previamente el 2 5

1 3 5 ⋅ 1 + 2 ⋅3 11 + = = 2 5 10 10
Si las fracciones son algebraicas se procede de la misma forma, pero debes factorizar previamente los denominadores para poder determinar el m.c.m. Ejemplo:

5 3 + 2 = 2x + 2y x − y2
Para hallar el previamente: m.c.m. de los denominadores, debemos factorizarlos

2x + 2y = 2(x + y) x2-y2 = (x + y)(x - y) El m.c.m. entre 2(x + y) y (x + y)(x - y) es la expresión algebraicamenor que contenga todos estos factores, esta es: 2(x + y)(x - y) Ahora procedemos tal como lo hicimos en el ejemplo numérico:

5 3 5 3 5(x − y) + 2 ⋅ 3 5x − 5y + 6 + 2 = + = = 2 2x + 2y x − y 2(x + y) (x + y)(x − y) 2(x + y)(x − y) 2(x + y)(x − y)
Veamos ahora otro ejemplo:

1 1 + = x + 5x + 6 x + 3
2

Factorizamos el denominador: x2+5x+6=(x+2)(x+3)

3

El m.c.m entre (x+2)(x+3)y (x+3) es (x+2)(x+3), por lo tanto:

1 1 1 1 1+ x +2 + = + = = x + 5x + 6 x + 3 (x + 2)(x + 3) x + 3 (x + 2)(x + 3)
2

1 x+3 = (x + 2)(x + 3) (x + 2)

Si queremos multiplicar o dividir fracciones algebraicas, lo hacemos de la misma forma que cuando se operan fracciones numéricas:

a c ac ⋅ = b d bd a c a d ad : = ⋅ = b d b c bc
Como se explicó anteriormente, para poder simplificar sedebe factorizar previamente. Veamos un nuevo ejemplo:

x y = 2x − 2y 1−
En el numerador: 1 −

x x y−x el m.c.m. es y, si restamos obtenemos: 1 − = y y y

En el denominador factorizamos por 2: 2x – 2y = 2(x-y) Por lo tanto la fracción inicial queda:

x y−x y y = 2x − 2y 2(x − y) 1−

4

Si efectuamos la división de fracciones, resulta:

y−x y−x 1 y = ⋅ , los binomios (y-x) e (y-x) no...