La Llamada De La Selva

RAZONES Y PROPORCIONES • Definición de razón y de proporción. • Propiedades de las proporciones. - Producto de extremos igual al de los medios. - Alternar, invertir y permutar. - Componer, descomponer, componer y descomponer. • Aplicaciones de las propiedades de las proporciones.

Razones y proporciones: Razón: Es un cuociente indicado entre dos cantidades. La razón entre "a" y "b" se escribea o bien a : b ; la que b se lee "a" es a "b", donde el primer término "a" se llama antecedente y el segundo término "b" consecuente. La finalidad de una razón es establecer comparaciones; así por ejemplo si el peso de dos personas está en la razón 3:5 significa que por cada 3 kilos que pesa la primera, a la segunda le corresponden 5 kilos.

Ejercicios: 1) La razón entre: (a) 5 y 7 es: 5 = 5 :7 7 (b) 3 y 8 es: 3 = 3 : 8 8

2) Si la edad de A es de 18 años y la de B es de 45 años; establecer la razón entre:

18 18 : 9 2 (a) La edad de A y B: = = =2:5 45 45 : 9 5

45 45 : 9 5 (b) La edad de B y A: = = =5:2 18 18 : 9 2

3) Si en un campo hay plantados 720 pinos, 480 eucaliptos y 360 álamos; determine la razón entre el número de: (a) Pinos y eucaliptos
720 : 240 720 3 = = 480 :240 480 2

(b) Eucaliptos y álamos

4 480 480 : 120 = = 3 360 360 : 120

(c) Alamos y pinos:
360 360 : 360 1 = = 720 720 : 360 2

Valor de una razón: Es el cuociente entre el antecedente y el consecuente de una razón; es decir: a =a:b= k b Valor de la razón

"k" es un número abstracto que indica las veces que el consecuente está contenido en el antecedente. Ejercicios: 1) Determine elvalor de las siguientes razones: (a) 3 = 3 : 5 = 0,6 5
9 (b) = 9 : 2 = 4,5 2

2) Se define densidad poblacional por la razón:

Población Nº de habitantes = Densidad poblacional = Superficie Nº de Km2

Determine la densidad poblacional de Antofagasta donde: Población ≈ 450.000 Superficie ≈ 150.000 Km2 450.000 150.000

Densidad =

Densidad = 45 = 45 : 15 = 3 15 Luego hay 3 habitantes porkm2.

Proporción: Una proporción es una igualdad entre dos razones que tienen el mismo valor; es decir si:

a =k b c =k d

a c entonces = b d

o bien a : b = c : d ; es una proporción la que se lee "a" es a "b" como "c" es a "d"; donde "a" y "d" son los términos extremos a diferencia de "b" y "c" que son los términos medios.

Ejercicios: 1) Al tener las razones 3/4 ; 2/5 ; 3/9 ; 6/8 ;1/3 y 4/10 ; indique las proporciones que entre ellas se forman. Obteniendo el valor de cada una de las razones: 3 = 0,75 4 2 = 0,4 5 Las proporciones son: 3 = 0, 3 9 6 = 0,75 8 1 = 0, 3 3 4 = 0,4 10

3 6 = 4 8

2 4 = 5 10

3 1 = 9 3

2) Si 5 y 6 son los términos extremos; 3 y 10 los términos medios de una proporción. Construya tal proporción. ¿Es única? 5 10 = 3 6 5 3 = 10 6 6 10 = 3 56 3 = 10 5

Propiedades de las proporciones: 1ª Propiedad: En toda proporción; el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios; es decir si: a c = entonces a ⋅ d = b ⋅ c b d Esta propiedad permite calcular términos desconocidos en una proporción.

x 9 a) Si = ; luego x = ? 12 4
x·4 = 12·9 4x = 108 108 x= 4 x = 27

x − 2 x +1 (b) Si = luego x = ? 4 5
(x -2)·5 = 4·(x + 1) 5x - 10 = 4x + 4 5x - 4x = 4 + 10 x = 14

2) Dada la razón entre las dos cantidades señaladas; determine el valor que falta en: a) Edad del padre y la del hijo; Padre: 35 años ; hijo = ? 5:2

Padre 5 = Hijo 2 35 5 = Hijo 2

⇒

35 ·2 = Hijo ·5 70 = Hijo 5 14 años = Hijo.

b) Hombres y mujeres;

4:3

Nº mujeres: 420 ; Nº de hombres = ?
Hombres 4 = Mujeres 3Hombres 4 = 420 3

⇒ Hombres ·3 = 420 ·4 Hombres = 1680 3 Hombres = 560

3) La razón entre el largo y el ancho de un rectángulo es 7 : 5 , donde el largo mide 12cm más que el ancho. ¿Cuáles son las medidas de los lados de este rectángulo? L arg o 7 x = Ancho 5
x + 12 7 = x 5
x+12

(x + 12)·5 = x ·7 5x + 60 = 7x 60 = 7x - 5x 60 = 2x 60 = x 2

30 = x Largo = x + 12 = 30 + 12 = 42cm Ancho =...