la mosca loca

Problemas resueltos
3
, calcula cosα y tan α utilizando a) la calculadora b) las relaciones fundamen5
tales ( < 90°).

1) Si senα =

Solución
a) senα =

3
5

3
α = arcsen = 36′8698º
5

cos 36′8698º = 0′8

tan 36′8698º = 0′75

2

b) sen α + cos α = 1
2

2

9
16 4
⎛ 3⎞
cos α = 1 − sen α = 1 − ⎜ ⎟ = 1 −
=
= = 0′8
25
25 5
⎝5⎠
2

3
senα
0′6
tan α =
= 0′75
=5 =
cos α 0′8 0′8

2) En un triángulo rectángulo se sabe que la hipotenusa mide 8 cm y que uno de sus ángulos
es de 25º. Calcula los dos catetos y el ángulo que falta. Comprueba los resultados obtenidos midiendo directamente.
Solución

a
⇒ a = 8 ⋅ sin 25º = 3′38 cm
8
c
cos 25º =
⇒ c = 8 ⋅ cos 25º = 7′25 cm
8

sin 25º =

Otra manera de calcular “c” es por el T a de
Pitágoras:b2 = a 2 + c2
El ángulo que falta es

82 = 3′382 + c 2 ⇒ c = 82 − 3′382 = 7′25 cm

C = 180º −90º −25º = 65º

3) ¿A qué altura del suelo se encuentra la cometa?
50 m

42º
1’2 m

Solución

sen 42º =

x
50

x = 50 ⋅ sen 42º = 33′45 m ⇒ h = 33′45 m + 1′ 2 m = 34′65 m

I.E.S. Historiador Chabás

-1-

Juan Bragado Rodríguez

4) Un tobogán tiene una altura máxima de 3 m y unalongitud de 5 m. ¿Cuál es su inclinación?
Solución

senα =
α = arcsen

3
5

3
= 36′87 º
5

5) Calcula el área de un dodecágono regular de 5 cm de lado.
Solución

360º
= 30º
12

tan 15º =

2′5
h

h=

2′5
= 9′33 cm
tan 15º

Área del triángulo isósceles:
AT =

5 cm ⋅ 9′33 cm
= 23′325 cm 2
2

Área del Dodecágono:
A D = 12 ⋅ A T = 12 ⋅ 23′32 = 279′84 cm 2

6)Calcula la altura del árbol de la figura

28º

20 cm

0’40 m

11’60 m

Solución

tan 14º =

x
x
=
11´60 + 0´40 12

x = 12 ⋅ tan 14º = 2´991m
2x = 2 ⋅ 2´991= 5´982 m
Observamos que el lápiz no es relevante
para resolver el problema.

I.E.S. Historiador Chabás

-2-

Juan Bragado Rodríguez

7) Un pentágono se inscribe en un círculo de radio 3 cm. Hallar su lado y suapotema.
Solución

360º
= 72º
5
72º
= 36º
2
a
⇒ a = 3 ⋅ cos 36º = 2′427 cm
3
x
sen36º =
⇒ x = 3 ⋅ sen36º = 1′ 763 cm
3

cos 36º =

El lado “x” también lo podemos calcular aplicando el Teorema de Pitágoras.

32 = a 2 + x 2 ⇒ x = 32 − a 2 = 9 − 2′4272 = 1′ 763 cm
El lado del pentágono mide 2x = 2 ⋅ 1′ 763 = 3′526 cm
La apotema del pentágono mide a = 2′427 cm

8) Subimos con unabicicleta un puerto de montaña cuya ladera permite que el trazado de la
carretera sea recto. Si la pendiente de la carretera es del 22% ¿a qué altura nos encontraremos cuando el cuentakilómetros marque 6 km?
Solución

tan α =

22
= 0′22 ⇒ α = arctan 0′22 = tan −1 0′22 = 12′407º
100

sen 12′407 º =

I.E.S. Historiador Chabás

x
⇒ x = 6000 ⋅ sen12′407º = 1289′12 m = 1′ 289 km
6000-3-

Juan Bragado Rodríguez

9) Hallar la longitud de los vientos que sujetan la tienda de campaña y la longitud del lado x.

Solución

tan 37 º =

h
⇒ h = 1′ 6 ⋅ tan 37º = 1′ 205 m
1′ 6

x 2 = h 2 + 12 ⇒ x = 1′ 2052 + 1 = 1′ 565 m

y 2 = h 2 + 2′62 ⇒ y = 1′ 2052 + 2′62 = 2′865 m

10) Desde dos ciudades A y B que distan 80 km. se observa un avión. Las visuales desde el
avión aA y a B forman ángulos de 29º y 43º con la horizontal, respectivamente. ¿A qué altura está el avión? ¿A qué distancia se encuentra de cada ciudad?
Solución
El problema tiene dos posibles soluciones: a) que el avión se encuentre entre las dos ciudades y
b) que las dos ciudades se encuentren a un mismo lado del avión.

a) Si el avión está situado entre las dos ciudades.

Tenemos dostriángulos rectángulos: el ACH y el BCH.

I.E.S. Historiador Chabás

-4-

Juan Bragado Rodríguez

En el triángulo ACH se verifica:
tan 29º =

h
80 − x

⇒ h = tan 29º (80 − x ) = 0′554 (80 − x ) = 44′32 − 0′554 x

En el triángulo BCH se verifica:
h
⇒ h = tan 43º⋅x = 0′932 x
x
Igualando las dos expresiones tenemos una ecuación cuya incógnita es “x”.
tan 43º =

44′32 − 0′554 x =...