La Odisea

Facultad de Ciencias de la Educación Pedagogía Media en Matemática

Guía de Ejercicios
Álgebra de Funciones

Función Lineal
1) Para cualquier función lineal de la forma f (x) = mx+b, muestre que f (x + h) − f (x) = m. h

2) Muestre que la ecuación de una recta que intersecta al eje X en a y al eje Y en b, en que x y a y b son distintos de 0, puede escribirse como + = 1. a b 3) Encuentre unaexpresión general para una función lineal, dados f (a) y f (b). 4) Encuentre las posibles pendientes de una recta que pasa por el punto (4, 3) y tal que el segmento que pasa por el primer cuadrante forma un triángulo de área 27 unidades2 con los ejes coordenados, y luego hágalo con uno cuya área sea 24 unidades2 . 5) Un atleta corre a una tasa constante de 4,9 kilómetros por hora. Determine cuán lejospuede llegar en 3,1 horas. Determine cuánto se demorará en correr la maratón (42,2 kilómetros). 6) La actividad física produce a largo plazo un aumento del peso del hígado y volumen del corazón. Suponga que se tiene un hígado de 280 gramos cuyo volumen cardíaco es de 850 ml, y que para un hígado de 350 gramos el volumen cardíaco es de 990 ml. Suponiendo además que existe una relación lineal entrela masa hepática y el volumen del corazón, determine la función del volumen cardíaco en términos de la masa hepática.

Función Cuadrática
1) Pruebe que, para un a negativo, la función cuadrática f (x) = a(x − h)2 + k tiene un valor máximo igual a k, que se logra cuando x = h. 2) Encuentre el dominio, el recorrido y el máximo o mínimo, y trace el gráfico de cada una de las siguientes funciones: 3 4a) f (x) = − x2 − x + 6 2 3 1 b) f (x) = − (x + 3)2 − 7 2 c) f (x) = 3(x − 2)2 + 5 d) f (x) = 6 − x2 e) f (x) = x2 − 8x

3) Halle dos números reales cuya suma sea S y cuyo producto sea el máximo posible. 4) Un vendedor de pomada nota que si visita 20 tiendas por semana, sus ventas en promedio corresponden a 30 unidades por tienda cada semana; sin embargo, por cada tienda adicional que visita porsemana, sus ventas disminuyen en 1 unidad. ¿Cuántas tiendas debe visitar cada semana para maximizar sus ventas?

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5) El consumo de oxígeno, en mililitros por minuto, para una persona que camina a x kilómetros por hora está dada por la función f (x) = 5 x2 + 5 x + 10, mientras que el consumo de 3 3 oxígeno para una persona que corre a x kilómetros por hora está dada por g(x) = 11x+10. Trace lasgráficas de f y g (en un mismo plano cartesiano). ¿A qué velocidad es idéntico el consumo de oxígeno para una persona que camina y para otra que corre? ¿Qué sucede con el consumo de oxígeno para ambas personas a velocidades mayores que la determinada en el item anterior?

Función Racional
1) Calcule los valores indicados de la función dada, y grafíquela señalando sus asíntotas (si las tiene): f(−2), f (0), f 1 2 16 5 si f (x) = 3x2 + 2 x3 + 7   x−3   si x < 0  2  x +3  si f (x) =  √   x   si x ≥ 0  x+1

f (−5), f (0), f

2) Para una persona con piel sensible, la cantidad de tiempo T (en horas) que la persona puede exponerse al sol con quemaduras mínimas puede modelarse como T (s) = 0, 37s + 23, 8 , s 0 < s ≤ 120

donde s es el valor de la escala Sunsor, que mide la intensidad delos rayos UVB. a) Halle la cantidad de tiempo que una persona con piel sensible puede exponerse cuando s = 10, s = 25 y s = 100. b) Si el modelo fuera válido para cualquier s > 0, ¿qué valor tendría la asíntota horizontal, y qué representaría? Explique con la ayuda de la gráfica del modelo. 3) Al realizar un estudio en una zona minera se encontró un gran porcentaje de personas con niveles elevadosde plomo en la sangre. El ISP decidió comenzar un tratamiento con un costoso medicamento a las personas que tengan un 6 % de sangre contaminada. El porcentaje que describe la cantidad de plomo en la sangre como efecto de x gramos de medicamento está dada por la función P (x) = x2 + 5x + 6 x2 + x + 1

con P expresado en %. ¿Cuántos gramos como mínimo debe administrarse para que el porcentaje...