La Pedagogia En El Siglo Xix

* NUMEROS NATURALES:
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombreporque fueron los primeros que utilizó el ser humano para la enumeración
* PROPIEDADES DE LOS NUMEROS NATURALES:
Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden  se puede redefinir así:  si y sólo si existe otro número natural  que cumple . Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si ,  y son números naturales y , entonces se cumple:Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado
Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b
En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0, podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:
y    .
Losnúmeros q y r están unívocamente determinados por a y b.
Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.

* USO DE LOS NUMEROS NATURALES:
Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generalizacon el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos). En el mundo de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes.
* Otro uso de granimportancia, desde el punto de vista matemático, es en la construcción de los números enteros, para lo cual en NxN se establece una relación de equivalencia, para dos pares ordenados de NxN
(a; b)~ (c; d) s.s.s. a + d = b+ c
* NUMEROS ENTEROS:
Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los númerosnaturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo.
Elconjunto de todos los números enteros se representa por la letra  = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ....}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:
−783 y 154 son números enteros
45,23 y −34/95 no son números enteros
Al igual que los números naturales, los números enterospueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educaciónsecundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
PROPIEDADES:
Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden  se puede redefinir así:  si y sólo si existe otro número natural  que cumple . Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si ,  y son...