LA PEPA

Las derivadas parciales es derivar respecto a una variable. 
Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran más variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.
Si, las primeras derivadas parciales de  respecto de x e y sonlas funciones  definidas como 




Siempre que el límite existe.
Recordemos que la derivada de una función de una variable se define como : 


Ahora como tenemos la función  lo que hacemos es fijar el valor de una de las variables a una constante, de esta manera analizamos el cambio en la función con respecto solo al cambio de una de sus variables.
Entonces hacemos  aquí lo que hicimos fuefijar el valor de , y al hacer esto tenemos una función  que depende sólo de .
Derivamos la función  


Como  entonces  y cambiamos la expresión anterior, 


Entonces tenemos que la derivada de la función  cuando fijamos  y cambiamos  es, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la función con respecto al eje x) 





Derivada parcial

En las aplicaciones en que intervienenfunciones de varias variables suele presentarse la cuestión de cómo resulta afectada la función por cambio en una de sus variables independientes. Se puede contestar esta pregunta considerando por separado esa variable independiente. por ejemplo para determinar el efecto de un catalizador en una experimento, un químico puede realizar varias veces el experimento, con distintas cantidades de esecatalizador cada vez, mientras mantiene constantes todas las demás variables, tales como temperatura y presión. un procedimiento análogo sirve para encontrar el ritmo de cambio de una función f con respecto a una de sus varias variables independientes
En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras comoconstantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
Dada  sus derivadas parciales  se denotan por 


y



Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto  se denotan por 


y





Las derivadas parciales de una función de dos variables  tienen una interesante interpretación geométrica. Si  es la curva intersección de la superficie  conel plano.


Por tanto,

da la pendiente de esa curva en el punto . Notar que tanlo la cura como la recta tangente están en el plano . Análogamente,



La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Donde  es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud  es función dediversas variables (,,,), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función  en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en ladirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.
Supongamos que  es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso,


Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie.La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.
Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar...