la raíz cuadrada en números complejos

El cuadrado de cualquier número real positivo o negativo es positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una raíz cuadrada en los números reales. Sin embargo,es posible trabajar con un sistema más grande de números, llamados los números complejos, que contienen soluciones a la raíz cuadrada de un número negativo. Esto es hecho introduciendo un nuevonúmero, denotado por i (a veces j, especialmente en el contexto de la electricidad) y llamado unidad imaginaria, que se define tal que i^2 = -1\,\!. Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raízcuadrada de −1, pero notamos que también tenemos (-i)^2= i^2 = -1\,\!, así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, se dice que la raíz cuadrada principal de−1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:

\sqrt{-x} = \sqrt{-1}\sqrt{x} = i\sqrt{x}
esdecir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que i^2 = -1\,\!, por lo que entonces:

\left(i\sqrt{x}\right)^2 =
i^2\sqrt{x}^2 =
(-1)x =-x
Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad en donde uno quiera

\sqrt{\pm ix} =
\sqrt{\frac{x}{2}}\pm i\sqrt{\frac{x}{2}}
Por los argumentosdados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no podemos definir \sqrt zpara ser la raíz cuadrada “positiva” de Z.
Para cada número complejodiferente a cero z existen exacto dos números W tales que w^2 = Z\,\!. Por ejemplo, las raíces cuadradas de i son:

\sqrt{i} =
\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)
y

- \sqrt{i} =
-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)
La definición general de \sqrt z está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = r eiφes representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a:...