La smatematicas

LA RECTA.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
❖ Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. d = ( x1 – x2(

Ejemplo: La distancia entre los puntos (–4, 2 ) y (2, 2).
d = ( x1 – x2( = ( –4 –2( = ( –6( = 6 unidades

❖ Cuando los puntos se encuentranubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. d = ( y1 – y2(

Ejemplo: La distancia entre los puntos (3, –2) y (3, 4).
d = ( y1 – y2( = ( –2 – 4( = ( –6( = 6 unidades

❖ Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia quedadeterminada por la relación:
[pic] Teorema de Pitágoras.
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras.

Ejemplo 1:
Calcular la distancia entre los puntos (1,1) y (4,5).
Solución:
Al aplicar la fórmula de la distancia se tiene:
[pic] [pic] [pic][pic] [pic] [pic] [pic]

Ejemplo 2:
Calcular la distancia entre los puntos (-3,-2) y (4,1).

Solución:
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

Ejemplo 3

Encontrar el perímetro (P) del cuadrilátero cuyos vértices son:
A (–2 , –1) ; B ( 0,2) ; C ( 3, 3) ; D (4, –1)
Solución.
Graficamos el cuadrilátero para hacernos una idea.
Encontramos las distancias entre cada punto, haciendo uso dela fórmula:
[pic] y tomando los pares ordenados respectivos.
[pic]
[pic]
[pic]
Los puntos A y D están ubicados horizontalmente por lo tanto haremos uso de la fórmula d = ( x1 – x2(
[pic] = ( 4 – (–2)( = ( 4 +2( = ( 6( = 6 [pic]= 6
P = [pic] + [pic] + [pic] + [pic]
P = [pic] + [pic]+ [pic]+ 6 (podemos dejar indicado el resultado ya que el propósito es aplicar correctamente lafórmulas)

Ejemplo 4
Demostrar que los puntos A (–5,–1) ; B ( 1,0) ; C ( 7, 1), son colineales.
Solución.
a) Graficamos los puntos.
[pic]
b) Para que sean colineales debe cumplir que

[pic] = [pic] + [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] = [pic] + [pic]
[pic]= [pic]+[pic]

Ejemplo 4
Demostrar que los puntos A (2,–3) ; B (–2,1) ; C ( 4, –1), sonlos vértices de un triángulo rectángulo.

Solución.
a) Graficar el triángulo

b) Probar que
[pic]

[pic]

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Punto Medio de un segmento. (PM)
[pic]
Ejemplo 1
Dados los puntos de un segmento A(–2,–3) y B ( 3, 1), determine el punto medio de este.
Solución:

Aplicando las fórmulas: [pic]
Se tiene [pic] [pic]
Por lo tanto [pic]INCLINACION Y PENDIENTE DE UNA RECTA
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Pendiente de una carretera.
En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal.
La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (cartesiano), suele ser representado por laletra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:
[pic]
(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en calculo para representar un cambio o diferencia.)
Dados 2 puntos (x1, y1) y (x2, y2), la diferencia en x es x2 - x1, mientras que el cambio en Y se calcula y2 - y1.Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:
[pic]
Ejemplo:
Dados los puntos P1(2 , –3) y P2 ( 1 , 3) determine la pendiente m.
Solución:
[pic]= [pic]
[pic] [pic]

❖ Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación.
❖ Una línea horizontal tiene pendiente = 0, mientras que una que forme un...