Laboratorio 9

GRADO EN INGENIERÍA

MATEMÁTICAS I (grupo 1)

(Curso 2013-2014)

1

LABORATORIO 9
1.-

Se considera la función polinómica f (x) = x5 + 3x4 + 5x3 + 5x2 − 3.
(a) Vamos a expresar f en potencias de (x +1), es decir, vamos a obtener el polinomio de Taylor de f de grado n en
x0 = −1. (Por ser f un polinomio de grado 5, f (x) = P5,−1 (x)).
f (x) = a0 + a1 (x + 1) + a2 (x + 1)2 + . . . + a5 (x + 1)5 ;siendo ak =

f k) (−1)
, k = 0, 1, . . . , 5.
k!

Para generar los coeficientes ak , simplificamos:
dif(f (x) , x , k)
, k, 0, 5
k!

VECTOR

y sustituimos en dicha simplificación x por −1.
f (x) =
(b)Ahora vamos a obtener los polinomios de Taylor de la función f en x0 = −1 de grados: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Para ello simplificamos:
VECTOR(TAYLOR(f (x) , x , −1 , k) , k , 1 , 6)
P1,−1 (x) =

P2,−1 (x)=

P3,−1 (x) =

P4,−1 (x) =

P5,−1 (x) =

P6,−1 (x) =

(c) Para cada uno de los polinomios obtenidos anteriormente, vamos a encontrar gráficamente un intervalo donde el
polinomio sea una "buena"aproximación de la función f .
P1,−1 (x)
[

2.-

,

P2,−1 (x)
]

[

,

P3,−1 (x)
]

[

,

P4,−1 (x)
]

[

,

P5,−1 (x)
]

[

,

]

Se considera la función f (x) = arctg(x). Denotamos por P4,1 (x) alpolinomio de Taylor de f en de grado 4 en x0 = 1,
y por R4,1 (x) a la forma de Lagrange del resto correspondiente a dicho polinomio. Y obtenemos:
P4,1 (x) =
R4,1 (x) =
arctg(x) ≈

"cerca" de x0 =

Evaluamoslas funciones anteriores en x = 0.5 con la precisión que nos da por defecto el DERIVE.
arctg(0.5) =
P4,1 (0.5) =
R4,1 (0.5) = f (0.5) − P4,1 (0.5) =
Hallamos el valor de c para el cual se verificaR4,1 (0.5) =

f v) (c)
(0.5 − 1)5 .
5!

c=
NOTA: f (x) = P4,1 (x) + R4,1 (x)
f (x) = f (1) +

f (1)
f (1)
f (1)
f iv) (1)
f v) (c)
(x − 1) +
(x − 1)2 +
(x − 1)3 +
(x − 1)4 +
(x − 1)5 .
1!
2!
3!
4!
5!P4,1 (x)

siendo c ∈ (x, 1) o c ∈ (1, x), según que x esté a la izquierda o a la derecha de 1.

R4,1 (x)

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(Curso 2013-2014)

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Se considera la...