Lagrange
Páginas: 2 (288 palabras)
Publicado: 22 de octubre de 2011
1.6 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
(1.6_CvR_T_061, Revisión: 11-09-06, C8)
En algunos casos se requiere optimizar funciones sujetas a restricciones. Enotras palabras, la condición: d f = fxdx + fydy = 0 no necesariamente implica que fx = fy = 0, ya que dy y dx no son independientes. Ejemplo 1: Encontrar el(o los) punto(s) en la elipse 5x2 - 6xy + 5y2 = 8 que se encuentren más cercanos al origen. Equivalentemente: encontrar x,y tal que (x2+y2)1/2 sea mínima,sujeta a la restricción 5x2-6xy+5y2=8, i.e.: F(x,y) = x2+y2= mínima, para g(x,y) = 5x2 - 6xy + 5y2 - 8=0 Sabemos que: Fx = 2x = 0, Fy = 2y = 0 ⇒ x = y = 0(0,0) minimiza a F, pero no cumple con la restricción, i.e., no está contenido dentro de la elipse. En este caso: dF = 2xdx + 2ydy = 0 Pero: dg = (10x-6y)dx +(10y-6x)dy=0 → restricción
10x − 6y dx , asumiendo que el denominador ≠ 0 en el mínimo. 6x −10y ⎡ ⎛ 5 x − 3 y ⎞⎤ ⇒ dF = ⎢2 x + 2 y⎜ ⎜ 3 x − 5 y ⎟⎥ dx = 0⎟ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎛ 5x − 3 y ⎞ ⇒ 2 x + 2 y⎜ ⎜ 3x − 5 y ⎟ = 0 ⇒ y = + x ⎟ ⎝ ⎠ ∴Los puntos caen sobre las rectas y = +x , pero deben también estar contenidos en laelipse. Los puntos que satisfacen estas condiciones son: ⇒ dy =
y y=-x
(
y=x
2 , 2 , − 2 ,− 2
)(
)
⎛ − 1 , 1 ⎞, ⎛ 1 ,− 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 2⎠ ⎝ 22⎠ ⎝ Mínimos
-1
2
2
x
39
La generalización de este método puede plantearse de la siguiente manera: Para F(x1, x2,....,xm)=max (o mínima)sujeta a las restricciones:
g1 ( x1 , x2 ,..., xm ) = C1 g n ( x1 , x2 ,..., xm ) = C n donde F1,g1,...gn tienen primeras derivadas parciales continuas y n
(1.6_CvR_T_061, Revisión: 11-09-06, C8)
En algunos casos se requiere optimizar funciones sujetas a restricciones. Enotras palabras, la condición: d f = fxdx + fydy = 0 no necesariamente implica que fx = fy = 0, ya que dy y dx no son independientes. Ejemplo 1: Encontrar el(o los) punto(s) en la elipse 5x2 - 6xy + 5y2 = 8 que se encuentren más cercanos al origen. Equivalentemente: encontrar x,y tal que (x2+y2)1/2 sea mínima,sujeta a la restricción 5x2-6xy+5y2=8, i.e.: F(x,y) = x2+y2= mínima, para g(x,y) = 5x2 - 6xy + 5y2 - 8=0 Sabemos que: Fx = 2x = 0, Fy = 2y = 0 ⇒ x = y = 0(0,0) minimiza a F, pero no cumple con la restricción, i.e., no está contenido dentro de la elipse. En este caso: dF = 2xdx + 2ydy = 0 Pero: dg = (10x-6y)dx +(10y-6x)dy=0 → restricción
10x − 6y dx , asumiendo que el denominador ≠ 0 en el mínimo. 6x −10y ⎡ ⎛ 5 x − 3 y ⎞⎤ ⇒ dF = ⎢2 x + 2 y⎜ ⎜ 3 x − 5 y ⎟⎥ dx = 0⎟ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎛ 5x − 3 y ⎞ ⇒ 2 x + 2 y⎜ ⎜ 3x − 5 y ⎟ = 0 ⇒ y = + x ⎟ ⎝ ⎠ ∴Los puntos caen sobre las rectas y = +x , pero deben también estar contenidos en laelipse. Los puntos que satisfacen estas condiciones son: ⇒ dy =
y y=-x
(
y=x
2 , 2 , − 2 ,− 2
)(
)
⎛ − 1 , 1 ⎞, ⎛ 1 ,− 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 2⎠ ⎝ 22⎠ ⎝ Mínimos
-1
2
2
x
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La generalización de este método puede plantearse de la siguiente manera: Para F(x1, x2,....,xm)=max (o mínima)sujeta a las restricciones:
g1 ( x1 , x2 ,..., xm ) = C1 g n ( x1 , x2 ,..., xm ) = C n donde F1,g1,...gn tienen primeras derivadas parciales continuas y n
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