Multiplicadores De Lagrange

Adicion de numeros naturales

Definición:
Existe una operación binaria en N que a cada par ordenado (x , y)de números naturales asigna un numero natural indicado x + y tal que:
1. ∀ x ∈ N, x+ 0 = x
2. ∀ x, y ∈ N x + sg(y) = sg(x + y)
x + y se llama la suma de x y y
observe que esta es una definición por recurrencia

propiedades de la adición:
1. La adición esasociativa en N
∀ x, y, z ∈ N}
(x + y) + z = x + (y + z)
Demostremos por inducción sobre z haciendo x, y fijos.
a. Z = 0 ===> (x + y) + 0 = x + y def. de suma 1= x + (y + 0) def. de suma 1

b. Sea ( x + y) + z = x + (y + z) hipotesis de inducción
Luego (x + y) + sg(z) = sg( (x + y) + z) def. de suma 2= sg(x + (y + z) ) hipotesis de inducción
= x + sg(y + z) def. de suma 2
= x + ( y + sg(z) ) def. de suma 2
Luego ∀ n ∈ N, (x + y) + z = x + (y + z)2. Demostremos las siguientes propiedades, también por inducción, que nos ayudaran a verificar que la suma es conmutativa.

A) 0 + n = n, ∀ n ∈ N

Demostración:

a. n = 0 ==> 0 + 0 =0, def. de suma 0 ∈ N
b. sea 0 + n = n hipotesis de inducción
0 + sg(n) = sg (0 + n) def. de suma
= sg(n) hipotesis de inducción
Luego ∀ n ∈ N, 0+ n = n

B. sg(m) + n = sg( m+ n)
Demostración: Aplicando inducción sobre n se tiene
a) n = 0===> sg(m) + 0 = sg(m) def. de suma= sg(m + 0) def. de suma

b) sea sg(m) + n = sg(m + n) hipotesis de inducción

sg(m) + sg(n) = sg(sg(m) + n) def. de suma 2
= sg(sg(m + n) )hipotesis de inducción
= sg(m + sg(n) ) def de suma 2

Luego sg(m) + n = sg(m + n) , ∀ n ∈ N

c) ∀ x ∈ N, sg(x) = x + 1 si sg(0) = 1

Demostración:...