Lagrange

Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas


Métodos Numéricos

Tema: Polinomio de Lagrange


Prof.: Cesar Domingo Hernández Vargas


Equipo 1González Flores Ariel Leonel
Tovar Aguilar Juan Jesus


Grupo: 1IV16



INDICE



Polinomios de Lagrange
Descripción
Formulas
Explicación grafica y tabulada
Ejercicios
Programa en MatlabConclusión














Polinomio de Lagrange

Descripción.
Empecemos con un conjunto de n+1 en el plano (que tengan diferentes coordenadas x):
(X0,y0), (X1,y1), (X2,y2), …,(Xn,yn)
El objetivo es encontrar una función polinómica que pase por esos n+1 puntos y que tengan el menor grado posible. Un polinomio de interpolación de Lagrange.

p(x)= a0(x-x1) + a1(x-x0)Despejando (a) e igualando p(x) a f(x) nos queda.
a0=p(x0)/x0-x1=f(x)/x0-x1
Teniendo la siguiente expresión se despeja p(x)
p(x)=(f(x0)/x0-x1)(x-x1)

Reduciendo y simplificando la ecuación anterior a lasiguiente
L=x-x1/(x0-x1)
Quedando la siguiente expresión algebraica para n veces.
L0(x)=(x-x1)…….(x-xn)/(x0-x1)……(x0-xn)
Que dando como formula general :

Pn(x)= Σ Li(x)f(xi)
Donde: Li(x)=Π(x-xj)/(xi-xj)
Estos polinomios básicos de Lagrange se construyen con una propiedad
1 i=j
Li=
0 i≠0
Entonces es muy fácil comprobar que estos polinomios pasan por todos los n+1puntos dados (es decir, es un polinomio de interpolación).
El grado del polinomio de interpolación de Lagrange es igual o menor que n. Es el menor grado posible. El polinomio encontrado es único.Tabular
Al combinarse linealmente con f(x), los polinomios L(x), denominados polinomios de Lagrange, generan la aproximación polinomial de Lagrange a la información dada en tabular.
El siguiente cuadro setomara un polinomio de tercer grado al sustituir cuatro puntos.
xi
f(x)
i
0
-3
1
1
0
2
3
5
3
6
7
4

Usando la Ecuación


Se sustituyen en la ecuación los valores tabulados y aplicando...