Lamina ED06 2016 1

ECUACIONES DIFERENCIALES

LáminaED06

Tema 2
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Objetivo: El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las ecuaciones
diferenciales lineales ordinarias al analizar e interpretar problemas físicos y
geométricos.
Ecuación Diferencial Lineal de Orden N

Definición : Ecuación Diferencial Lineal de Orden " n "
Una ecuación diferencial lineal de orden n es aquellaque
tiene la forma :
dny
d n 1 y
dy

 ...  b1 ( x)
 b0 ( x) y  g ( x)
b
(
x
)
n

1
n
n 1
dx
dx
dx
donde " y " y todas sus derivadas estan elevadas a la
potencia 1; bi ( x) y g ( x) dependen exclusivamente de " x ".
bn ( x)

Características de las Ecuaciones Diferenciales Lineales
 La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado.
 Cada coeficiente de la variabledependiente y sus derivadas depende
solamente de la variable independiente (o también pueden ser
constantes).
 No existen productos entre la variable dependiente y sus derivadas.
Ejemplos:
 Ecuación Diferencial Lineal de 2o orden:
 Ecuación Diferencial Lineal de 3er orden:

 Ecuación Diferencial Lineal de 4o orden:

d 2y
dy
 2
 xy  e x
2
dx
dx
d 3x
 t 2 x  sen(t )
dt 3
y IV  2 y '''  y ''  5 y'  3 y  0

Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden
Definición : Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden
Es aquella que tiene la forma :
b1 ( x)

dy
 b0 ( x) y  g ( x)
dx

donde b1 ( x)  0 .

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Ing. Jesús Alfredo Zárraga Martínez

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Ejemplos:
a)

dy
 yx
dx

b) ln( x) y ' 

1
y  ln 2 ( x)
x

c)  ' 

1
  ln(r )
r

FormaEstándar de una Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

Definición : EDL de Primer Orden en su Forma Estandar
dy
 b0 ( x) y  g ( x)
*Si partimos de la forma : b1 ( x)
dx
1
ambos lados de la ecuación :
* Ahora multiplicamos por
b1 ( x)
dy b0 ( x)
g ( x)

y
dx b1 ( x)
b1 ( x)
*Si hacemos P ( x) 

b0 ( x)
g ( x)
y Q( x) 
en la ecuación :
b1 ( x)
b1 ( x)

dy
 P( x) y  Q( x)
dx
*Esta última esla EDL de 1er Orden en su Forma Estandar.
*Si ahora hacemos Q( x)  0 :
dy
 P( x) y  0
dx
*Esta última es la EDL de 1er Orden Homogénea asociada a la
no homogénea.
*Toda EDL de 1er Orden tiene asociada una homogénea.

Método de Solución por Factor Integrante

Definición : Método de Solución con Factor Integrante
*Las EDL de primer orden siempre poseen un factor integrante
del tipo    ( x)por tanto siempre se pueden resolver utilizando
éste método.
dy
 P( x) y  Q ( x)
*Partimos de la forma estandar :
dx
*Pasamos a la forma diferencial :  P( x) y  Q( x)  dx  dy  0
*Utilizamos criterio 1 de investigación de factor integrante :
1  M N  1


   P( x)  0   P ( x)
N  y x  1
*Por tanto, el factor integrante para una EDL de primer orden se
cálcula de forma únicamediante :  ( x)  e 

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P ( x ) dx

Ing. Jesús Alfredo Zárraga Martínez

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Ejercicio # 32
Resuelva la ecuación diferencial

y '  cos( x)  y  2 sen( x)  .

Solución:



Solución General YG  ce sen ( x )  2 sen( x)  2

Solución General de una Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

Definición : Propiedades de la Solución de una EDL
Lasolución general de una ecuación diferencial lineal de la
dy
 P( x) y  Q( x) es la suma de dos soluciones :
forma
dx
YG  YH  YP
Donde YH es la solución de la homogénea asociada (también
llamada solución complementaria ó YC ) y YP es una
solución partícular de la no homogénea.

Solución de la Homogénea Asociada

Definición : Solución de la Homogénea Asociada
*Partimos de :
*Separamos variables:
*Integramos :
*Despejamos " y ":

dy
 P( x) y  0
dx
dy
  P ( x)dx
y
dy
 y    P( x)dx
ln y  c1    P( x)dx

 P ( x ) dx  c1
ln y    P( x)dx  c1  y  e 
 P ( x ) dx
*La solución de la homogénea es : y  ce 

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Ing. Jesús Alfredo Zárraga Martínez

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Solución Particular de la No Homogénea

Definición : Solución...